广东省中山市第一中学(528400) 宋海培

2020年的广东省中考已落下帷幕,各市的评卷工作也已完成.笔者参与了广东省中考数学第22 题(圆的综合题)的评卷工作,目睹了同学们五花八门的解答.经过评卷后的统计,本题平均分仅为2.8 分(满分8 分),平均得分率为0.35,可见同学们的回答并不理想.这道题可以怎样解? 这道题相关的图形结构还有哪些可以总结的性质? 其他省市的数学中考对这些性质是否有过考查? 我们在教学中该怎么做? 这引起了我的很多思考,现整理出来,供大家参考.

1 原题呈现

如图1,在四边形ABCD中,AD//BC,∠DAB= 90°,AB是⊙O的直径,CO平分∠BCD.

(1)求证: 直线CD与⊙O相切;

(2)如图2,记(1)中的切点为E,P为优弧上一点,AD=1,BC=2,求tan ∠APE的值.

图1

图2

2 解法评析

(1)证明: 如图3,过点O作OE⊥CD于点E.

∵AD//BC, ∠DAB=90°, ∴∠OBC= 180° -∠DAB= 90°, 即OB⊥BC.∵CO平分∠BCD,OE⊥CD,OB⊥BC, ∴OB=OE.∵AB是⊙O的直径,∴OB是⊙O的半径, ∴OE也是⊙O的半径.∴直线CD与⊙O相切.

图3

解法评析(1): ①,切线的判定通常认为有两种常见题型及对应方法:本题的切线证明属于“无交点: 作垂直,证半径”这一类型,即⊙O与直线CD的公共点尚未明晰,所以可以采取先作垂线段OE,再证明这条垂线段的长度等于圆的半径,从而证明直线CD是⊙O的切线;

②,利用角平分线性质证明线段相等,也可通过全等来证明;

③,说明垂线段OE等于半径;

④,直线CD经过半径外端且垂直于半径,是圆的切线.

以上是本题的常规解法, 在评卷过程中发现了个别学生的其他解法, 同样达到了证明切线的目的.如采用下面的思路: 在CD上截取CE=CB, 用SAS 证得ΔBCO∽= ΔECO, 进一步可同样得到OE⊥CD以及OB=OE,所以直线CD与⊙O相切.

(2)解: 如图4,连接OD,∵直线CD、AD、CB与⊙O相切, ∴AD=DE= 1,BC=CE= 2, ∠ADO= ∠EDO,∠BCO=∠ECO,∴∠AOD=∠EOD,CD= 3.∠AOD.∵AD//BC,∴∠ADE+∠BCE=180°,∴∠ODE+∠OCE= 90°, ∴∠DOC= 90°.∵OE⊥CD, ∠ODE=∠CDO,∴ΔODE∽ΔCDO,∴OD=∴在RtΔAOD中,OA=∴tan ∠AOD=

图……