华南师范大学数学科学学院(510631) 杨宇佳

导言: 逆向思维,也称求异思维,它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式.敢于“反其道而思之”,打破思维定势,让思维向对立面的方向发展,从问题的相反面深入地进行探索,树立新思想,创立新形象.当大家都朝着一个固定的思维方向思考问题时,有人能朝相反的方向思索,这样的思维方式就叫逆向思维.常见的逆向思维有三种:

(1)反转型逆向思维法: 从已知事物的相反方向(从事物的功能、结构、因果关系等三个方面)作反向思维进行思考,产生发明构思的途径.

(2)转换型逆向思维法: 在研究问题时,由于解决这一问题的手段受阻,而转换成另一种手段,或转换思考角度思考,以使问题顺利解决的思维方法.

(3)缺点型逆向思维法: 利用事物的缺点,将缺点变为可利用的东西,化被动为主动,化不利为有利的思维发明方法.这种方法不以克服事物的缺点为目的,相反是将缺点化弊为利,找到解决方法.

反证法即利用了逆向思维中的“缺点型逆向思维法”,通常利用反证法的题目,都是因为其从正面直接证明较为困难,这就是“事物的缺点”,这时,我们能否“将缺点变为可利用的东西”,即利用要证的命题,将它的其他形式当作已知条件来使用,从而简化问题的证明呢? 这的确是可以的,将要证的命题的否命题假设为真,也就是“将缺点化弊为利”,再把其当作可用的条件之一,根据原来所给的条件和已经学过的内容,推断出与已知条件相矛盾的结论,这就证明了我们的假设不能成立,从而推出了我们想要得到的证明,也就是找到了“解决方法”.

1 数学史上反证法的经典应用——“是无理数的证明”

例1证明:是无理数.

下面是“缺点型逆向思维法”的应用步骤分析:

2 利用“缺点型逆向思维法”分析反证法在不同题型中的应用

2.1 在代数问题中的应用

例2设实数a,b满足3a+13b= 17a,5a+7b= 11b,求证a ＜b.

分析: 1)事物的缺点: 直接求证a ＜b,考虑一般的方法,例如作差法、作商法、构造法,显然很难利用题目中所给的式子进行证明.

2) 将缺点化弊为利:“a ＜b”的否命题是“a≥b”, 把“a≥b”当作条件使用.

3) 利用“a≥b”和其他知识得到新事物: 可得到13a≥13b,5a≥5b.

由3a+13b= 17a可知3a+13a≥3a+13b= 17a,即由于f(x)=是单调递减的函数,可得f(1) =＜1,同时f(a) ≥1＞f(1),可知a ＜1.由5a+7b=11b可知5b+7b≤5a+7b=11b,即由于g(x)=是单调递减的函数,可得g(1)=＞1,同时g(b)≤1＜g(1),可知b ＞1.

4)发现解决方法: 此时b ＞1＞a,这与a≥b矛盾! 故a ＜b.

2.2 在三角函数问题中的应用

例3试证函数f(x)=不是周期函数.

分析: 1)事物的缺点: 直接证明f(x) =不是周期函数,需严格证明f(x)不满足周期函数的定义.但在中学阶段,我们要直接证明“不满足”的问题十分困难,因此,从正面证明难度较大.

2)将缺点化弊为利:“函数f(x)=不是周期函数”的否命题是“f(x)=为周期函数”,将“f(x)=为周期函数”当作条件使用.

3) 利用“f(x) =为周期函数”和其他知识得到新事物: 设其周期为T, 则对∀x, 有f(x+T) =f(x), 即

4) 发现解决方法:“T无解”与T的存在性矛盾, 因此不是周期函数.

2.3 在几何问题中的应用

例4已知a与b是异面直线, 又有a ⊂ α,b ⊂β,a//β,b//α,求证:α//β.

分析: 1)事物的缺点: 若要证两个平面平行,则要证这两个平面没有公共点, 由于两个平面平行的定义是否定形式,因此直接判定两个平面平行较为困难.

2)将缺点化弊为利:“α//β”的否命题是“α不平行于β”

3)利用“α不平行于β”和其他知识得到新事物:α不平行于β,且α ∩β=c,由于a//β,b//α,则由直线与平面平行的性质定理可知a//c,b//c,故a//b.

4)发现解决方法:“a//b”与“a和b是异面直线”相矛盾,故α//β.

3 “缺点型逆向思维法”在中学教学方面的应用建议

缺点型逆向思维是一种创造性思维,实际是以“出错”去达到“制胜”的目的.因此,缺点型逆向思维的成效常常会出乎意料得好.

3.1 在教学中设置“缺点”引发学生逆向思考

在中学数学教学当中,教师可以利用“缺点型逆向思维法”引导学生发散思维, 其一般流程为“故意出错—分析错误—改进方法—反思巩固”[1].

例如在讲解定理时,教师可以将定理的证明过程故意讲错一步,即“设置缺点”,但不要告知学生,而是接着向下进行证明,推导出错误的结论.这时,学生会发现这与定理所要求证的结论不同,此时再去激发学生探索的好奇心:“证明过程中哪里出错了? 错的原因是什么? 正确的应该是什么? 如果将定理中的部分条件改变或删去,能否得到相同的结论? 为什么不能? ”在一个一个问题中,逐步引发学生思考,本质其实是利用“错误结论”,逆向推导,也就是在培养学生的逆向思维.

3.2 在学生的“缺点”中引导学生逆向思考

在辅导学生练习的过程当中, 教师可以利用“缺点型逆向思维法”引导学生判断自己的错误之处, 逆向思考找到正确答案,其一般流程为“找到错误—利用错误—发现矛盾—改进方法—反思巩固”.

例如教师在批阅学生作业时发现学生的解答过程有部分错误,可以让学生利用自己的错误观念,正向推导要证明的内容,由此发现与题意的矛盾之处,再让学生对自己的证明过程进行改进.这样的思考过程本质也贯穿了“缺点型逆向思维法”,不仅让学生能够明白自己的错误原因,同时也能打破学生的固有思维模式.

4 反证法——利用“缺点型逆向思维法”解决问题的价值

4.1 教学价值

4.1.1 有助于培养学生灵活的思维

在数学的历史长河中,许多重大发现与创造都是逆向思维所产生的,逆向思维可以突破传统的思考方式,用结论的反面作为条件推出矛盾,是一种巧妙的思维转换.在中学数学的教学当中,教师可以多向学生渗透反证法等利用逆向思维的证明方法,开拓学生思维,锻炼学生的逻辑能力,对学生的创造性思维、发散性思维的发展具有重大的促进性作用.

4.1.2 有助于提高学生对数学钻研的兴趣

反证法主要突出逆向思维的训练,有一些问题无法从正向入手,而从反面思考,却又使问题变得简单.利用反证法的题目的证明过程,往往简单而漂亮,这可以使学生感受到数学的美感.因此,在中学数学教学过程当中,教师讲授反证法,可以使学生积极进行探究, 使其对数学的美有更深的感触,对数学具有好奇心,从而激发学生对数学钻研、探索的兴趣.

4.2 应用价值

4.2.1 反证法是数学研究的基础

反证法在中学数学的学习中出现的次数较少, 往往会出现在数学竞赛的题目中,对中学生来说有一定的难度.但在高等数学的学习中, 反证法却被频繁使用, 例如《数学分析》、《高等代数》、《初等数论》中,反证法都是极为常见的证明方法,尤其是在一些基本定理的证明中,反证法利用极强的逻辑效果,往往能给出十分漂亮的证明.因此,若对数学具有兴趣,则锻炼自己的逆向思维是极为重要的,反证法是数学学习的基础知识,也是研究数学的必备技能.

4.2.2 逆向思维是探索发现的源头