江西南昌莲塘第二中学(330200) 唐水华

主题词 考点;平面几何图形;向量标化

平面向量的基本定理及在此基础上建立起来的平面向量的坐标表示是向量线性运算的根基,大多数同学都能很好地识记和理解平面向量的基本定理及基坐标表示.但在具体运用上往往就不尽人意.下面就有关平面几何图形与圆、圆锥曲线完美结合中的向量问题与大家分享一下,因为班门弄斧初创原题,不当之处在所难免,本来也是为了抛砖引玉!

【引例】 如图1 , 圆O是边长为的等边三角形ABC的内切圆,其与BC边相切于点D,点M为圆上任意一点,则2x+y的最大值为( )

图1

图2

【学生错解】

虽然上述解法似乎对平面向量基本定理的理解深刻,也对平面几何图形的知识掌握的蛮好, 但还是解答的不正确.事实上,当且仅当点M运动至AC中点F时,2x+y取得最大值2, 此题解错的原因在于x,y不能同时取得最大值

那么这个试题该如何才能较好地解析得更好,解答得条理清晰呢? 实际上,利用在平面向量基本定理基础上建立起来的平面向量坐标表示方法——坐标法,不妨为一种有效选择.

【分析】建立坐标系,写出相应的点坐标,得到2x+y的表达式,进而得到最大值.

【解析】以D点为原点,BC所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立坐标系,如图3 所示.

因为圆O是边长为的等边三角形ABC的内切圆, 因此|AD|= 3, 因为因此|OD|=1, 即内切圆的半径为1, 以(0,1) 为圆心, 可得到点的坐标为:A(0,3),D(0,0),M(cosθ,1 + sinθ), 因此得到:即:因此最大值为2.故答案为: D.

图3

【评价】这个题目本质上是考……