广东省广州市第十六中学(510631) 梁镇辉

美国数学教育家杜宾斯基等发展了一种APOS 理论,以A(活动)、P(过程)、O(对象)、S(概型)四个阶段,协助学生建立数学概念.这种建构主义下的学习心理学理论,贴近数学教育的实践,有效帮助教师在教学过程中揭示数学本质,引领学生“火热思考”,经历数学的发现与再现过程,体验数学概念与法则等的形成过程,发展高阶数学思维,并在头脑中建立和完善知识结构.勾股定理不是一串形式上的符号,它有丰富的内涵实质.因此,笔者认为在课堂教学过程中,注重知识的探究过程和思想方法渗透,有助于学生真正理解勾股定理.

下面是基于APOS 理论指导下的“勾股定理”(人教版八年级下册17.1)教学设计:

1 内容和内容解析

1.1 内容

勾股定理的探究、证明及简单应用.

1.2 内容解析与过程简述

勾股定理的背景导入:

我国古代数学书《周髀算经》等记载研究了直角三角形三边的平方关系;古希腊数学家毕达哥拉斯于观察地板的生活情境中发现了直角三角形的某种数量关系;2002年北京国际数学家大会会徽呈现的“赵爽弦图”......都为勾股定理的发现与重现过程提供丰富的活动素材.本课题要研究的内容是直角三角形三边平方关系, 研究的过程是从特殊到一般,研究的基本方法是从几何直观切入,证明定理的关键是利用割补法求以斜边为边长的正方形面积.在A(活动)阶段的初始过程中,赵爽弦图有利于学生感受定理的直观背景,为抽象概括定理提供感性基础.

勾股定理的探究过程:

①学生通过观察正方形面积和差关系得到三边平方的和差关系,发展“以形解数”的综合能力;从分析等腰直角三角形三边关系到分析一般的直角三角形三边关系,从边长为特殊数的、具体的数值到一般情况,经历“特殊到一般”的数学研究过程,在典型的范例和具体操作中进行有益的数学思考.在A(活动)阶段的关键环节中,引导学生对正方形面积关系作猜想与表达,并联想到三边的平方数量关系,是适合学生操作的活动.直角边长的一般化探究过程可暴露勾股定理的内涵,可引导学生朴素的数学思考.

②学生通过合作计算正方形面积的活动, 归纳“割补法”是定理证明的思路.通过计算推导出一般结论,体会数形结合思想,发展形象思维.在P(过程)阶段中,学生不是停留在操作具体数值的直角三角形边长关系的层面上,也不是仅知道如何计算正方形面积关系的层面上,而是上升到抽象层面,即整体上把握分析勾股定理的特征.使定理的形成由“活动”向“程序”转换,推导、得出勾股定理的形式化表达,“凝聚”为“a2+b2=c2”.至此,勾股定理不再是冰冷的一串符号,而是一个有血有肉的的式子(定理).此外,学生也深入理解了a、b是直角边边长,而c是斜边边长的具体含义;这个等量关系是通过“出入相补”原理证实的.

③通过解决实际背景的问题,获知勾股定理是一个重要的数学工具,常用来求解线段长度或距离问题,与分类讨论、方程思想方法融合;最终师生共同分享学习收获.在O(对象)阶段,学生把勾股定理作为一个对象,比较、区分非直角三角形的三边关系;在实际的问题情境中寻找满足勾股定理的感性信息,把线段长或距离问题转化勾股定理的边长计算问题.在S(概型)阶段中,通过学生回顾勾股定理的探究过程以及解决问题的过程,从而建立起综合的心理图式,培养数学建模、方程思想等数学素养,发展正向迁移能力.本设计中,S 阶段不全是一个独立的教学环节,而是穿插于各个环节中,是一边探究一边总结数学思想方法,领会数学探究的基本策略.学生经过总结后,头脑中建立起具体的勾股定理实例、勾股定理形式化抽象过程、完整的勾股定理定义,勾股定理与数形结合、面积恒等、数学建模、分类讨论、方程思想的联系,乃至与非直角三角形的区别联系.

基于上述分析,本节课的重点是: 探索并证明勾股定理.

2 目标和目标解析

2.1 目标

(1)经历勾股定理的探究过程.了解关于勾股定理的一些文化历史背景,通过对我国古代研究勾股定理的成就介绍,培养学生的民族自豪感.

(2)能用勾股定理解决一些简单问题.

2.2 目标解析

目标(1): 在A 阶段,引导学生观察2002年数学大会会徽,分析当中存在的图形以及全等直角三角形关系,导入本节课的探究内容.经历毕达哥拉斯发现勾股定理的过程,在边长一般化后,继续操作发现正方形面积关系,得到三边关系,重现勾股定理的几何特征.暴露勾股定理的内涵——“数形结合”思想方法,教会学生“出入相补”是解决问题的策略,并由正方形面积联想到边长的平方,最终对三边关系进行朴素的数学思考.在P 阶段,把两个特殊直角三角形的三边关系作为一个整体,分析归纳其结构特征后作出一般意义下的猜想, 积累数学活动经验, 获知定理的内涵, 发展抽象思维.在O 阶段,学生以勾股定理为对象,展现和重现勾股定理的证明过程,对赵爽弦图的含义作出解释,增强民族自豪感回应引言中有关数学大会会徽的特别含义;了解其它证明方法,增强学习数学的自信心.

目标(2): 在O 阶段,让学生在实际的问题情境中,筛选出满足勾股定理的感性信息,感悟勾股定理主要应用于线段长或距离的计算问题,根据实际问题建立勾股定理模型,理解运用a2+b2=c2这个形式上的式子,体会“已知直角三角形的两边长能求第三条边的长度”的具体内涵.

3 教学问题诊断分析

学生要从观察正方形面积关系联想到三边的平方关系,在给定的“地板”和“网格图”中是容易的,但是要从等腰直角三角形过渡到一般的直角三角形(直角边长变化了),计算斜边上的正方形面积,推导勾股定理存在较大困难,而这个难点就在于学生要运用“出入相补”原理,想到合理割补图形的方法求以斜边为边的正方形面积.因此,需要在A 阶段初次引入赵爽弦图(数学大会会徽)时,有意识引领学生进一步分析图形的“拼图”方式,在给定的“网格图”后,启发学生合情推理,从几何直观角度猜想割补的方式.这样有利于学生自然合理地发现和证明勾股定理.到O 阶段,学习推导了勾股定理的形式表达a2+b2=c2后,进一步解释去网格后的赵爽弦图的含义.

基于上述分析,本节课的教学难点是: 勾股定理的探究和证明.

4 教学过程设计

4.1 “活动”A 阶段

重现勾股定理的发现过程——只要发现到某两个正方形面积之和等于第三个正方形面积,联想到某两边平方和等于第三边平方.

理解勾股定理,需要一定数量的活动(操作),才能有利于学生进行“反省抽象”.“活动”让学生亲身体验勾股定理的现实原型,感受直观背景和勾股定理间的关系.

问题1国际数学家大会最高视屏的全球性数学学科学术会议,被誉为数学界的“奥运会”.2002年在北京召开了第24 届国际数学家大会.图1 就是大会会徽的图.你见过这个图案吗? 它由哪些我们学习过的基本图形组成? 这个图案有什么特别的含义?

师生活动教师引导学生寻找图形中的直角三角形、正方形;从“三垂直模型”角度说明直角三角形全等的关系;从“出入相补,面积相等”角度说明大正方形、四个直角三角形、小正方形面积的数量关系;从“线段和差”角度说明两直角边之差等于小正方形的边长.指出通过今天的学习,就能理解会徽图案的特别含义.

设计意图“依纲靠本”重视教材的引言教学,从国际数学家大会的会徽说起,设置悬念,引入本课课题.同时经过对“赵爽弦图”在分解图形、关注线段数量关系、探究面积数量关系三个方面进行仔细观察、猜测、说明、归纳等思考,“面积法”对于后阶段研究勾股定理起到了思路和方法上的启示和借鉴作用.

问题2相传2500 多年前,毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时,发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系.我们也来观察一下地面的图案,看看能从中发现什么数量关系.

师生活动方案1: 教师抛出图1,指导学生依照问题意思,在图中用红笔圈出一个等腰直角三角形并启发学生参考问题1 研究图形的三个方面(组合形式、线段、面积),尝试发现三边的数量关系,分享描述发现结果的过程.教师给于肯定,在学生回答基础上指导学生归纳得出结论: 等腰直角三角形中,两直角边构成的正方形面积之和等于斜边构成的大正方形面积.

方案2: 教师在方案1 无果后,举出具体例子(图2),学生独立观察图形,分析、思考其中隐含的规律.通过直接数等腰直角三角形的个数/割补的方法将蓝色小正方形中的等腰直角三角形补成一个大正方形,得到结论: 蓝色小正方形的面积之和等于紫色大正方形的面积.

设计意图勾股定理源于生活的观察思考,毕达哥拉斯地板的发现是勾股定理的起因,也是一个典型例子.学生接受以面积的方法探究勾股定理,化简探究思维难点,节省教学时间,提高了课堂效率.方案1 是激发学生想象力,将生活场景抽象为数学问题的能力,尽可能让学生自主重复毕达哥拉斯的发现,突出学生学习的主体作用.方案2 是基于学生尚未经历毕达哥拉斯发现,且无法自主重复发现勾股定理过程下,突出教师的引导作用.

追问: 由这三个正方形的边长构成的等腰直角三角形三条边长之间有怎样的数量关系?

师生活动教师引导学生直接由正方形面积等于边长的平方,归纳到: 等腰直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.

设计意图从最特殊的等腰直角三角形入手,把既得的正方形面积关系(也是勾股定理的几何意义)联想到三边的平方关系,为进行初步的一般化探究作好铺垫.

问题3在网格中,任意画出一个直角三角形(注意不是等腰直角三角形,三个顶点落在格点上,即直角边都是整数).以它的三边为边长的三个正方形是否也有类似的面积关系?

师生活动教师观察和指导学生画出合意的直角三角形,作出对应的正方形;学生投屏展示作出的图,写下正方形面积关系,分享寻找面积关系的过程和方法.教师作出肯定,在学生回答的基础上(结合示例)归纳面积计算方法是“割补法”,即把边长不在网格线上的正方形(如正方形C)用横竖线段分割为四个小直角三角形和一个小正方形,或者沿着网格线补充为一个更大的正方形,而这个大正方形是由四个小直角三角形和原来的正方形“拼成”.教师引导学生得到结论: 两直角边构成的正方形面积之和等于斜边构成的大正方形面积.

设计意图网格中的直角三角形也是一种特殊情况;网格背景下图形面积计算方便;学生通过具体的操作(作图、观察、计算、发现、猜想)进一步体会割补法,理解具体的勾股定理结论.为程序P 阶段思维的腾飞进阶打下基础,在O 阶段的无网格背景下探究直角三角形三边关系提供方法借鉴.

追问: 从问题3 中,说说你所画出的直角三角形三条边之间有怎样的数量关系?

师生活动师生类比问题2 中的追问,进一步体会由正方形的面积等于边长的平方,掌握勾股定理的证明基本方法,归纳出: 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

设计意图该追问能为学生通过丰富的实例(活动),再次对直角三角形三边长的数量关系进行“朴素思考”,恰当地将直角三角形三边关系和正方形面积关系的相关信息组织起来,形成新的意义,即本节课的内容—勾股定理.

4.2 程序(P)阶段

综合分析勾股定理几何和代数特征, 反思提炼“a2+b2=c2”的形式猜想.

“程序”阶段是学生对前述具体“活动”进行思考,经历思维的内化、概括过程,学生在头脑中对活动进行描述和反思,抽象出勾股定理所特有的性质,即“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”.

问题4同学们思考以上两个探究直角三角形三边长关系过程中,两个关系式中有什么共同特点?

师生活动教师鼓励引导学生归纳至少三个结论: ①都是直角边构成的正方形面积之和等于斜边构成的正方形面积; ②都是两条直角边的平方和等于斜边的平方; ③三边都“带上”平方.

设计意图程序阶段需要教师更多启发学生思考,通过特列反思提炼勾股定理的特征,尽可能让学生用自己的语言描述程序,发展学生的抽象概括能力.

4.3 对象(O)阶段

合理猜想勾股定理的符号形式并作证明和简单应用.

问题5在前面的问题中,我们讨论直角三角形的边长都是具体的整数.如果直角三角形(任意边长)两直角边长分别为a,b,斜边长为c.通过前面的探究活动,猜一猜,直角三角形三边之间有什么数量关系?

师生活动教师引导学生得到猜想:a2+b2=c2.

设计意图在“地板”和“网格”背景下,通过观察和分析等腰直角三角形和一般化的直角三角形三边关系,学生已经有较为充分的“活动”经验,综合分析上述两个典型特例结构后,容易得出猜想.

问题6如图所示,你能证明猜想的合理性吗?

师生活动学生通过独立思考(教师视察情况适当提点要证明猜想成立首先联想到勾股定理的几何意义,可以参考前述问题的割补法,边长关系转化为正方形的面积关系).用a,b表示C的面积.用“割”的方法可得到.用“补”的方法也可得到.经过整理得到a2+b2=c2,即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

设计意图勾股定理作为一个“对象”来求证.从“地板”和“网格”背景到“无图”情况下,由具体数值到一般情况下直角三角形的三边关系,并通过证明定理的合理性.学生对勾股定理经历完整的探究、发现、演绎证明过程.

问题7展示我国古代数学家对勾股定理的研究,欣赏周髀算经中的赵爽弦图.

师生活动教师展示下图,并介绍: 这是三国时期的赵爽在注解《周髀算经》中给出的.他指出: 四个全等直角三角形(朱实)可以如图围成一个大正方形,中间部分就是一个小正方形(黄实).其实就是我们刚才证明勾股定理的第一种方法了.也是我们问题1 中出现的会徽图形,这个会徽的含义相信同学们能从勾股定理方面作出解释和评价.勾股定理的证明方法多于400 多种,有兴趣的同学可以继续研究.

设计意图勾股定理作为一个“对象”在史料方面丰富了学生对该定理的认识,以赵爽弦图了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明作出的贡献, 提升学生民族自豪感,增强自信心.通过介绍赵爽弦图,回顾“割”图找面积关系,把面积关系转化为直角三角形三边长关系,贯通于探究勾股定理活动的主线.结合史实,回应引言会徽图案的内涵,学生能解决疑惑.鼓励学生了解勾股定理的其它证明方法,增强学生学习数学的自信心.

练习1求下图中字母所代表的正方形的面积.

设计意图学生应掌握三个正方形的面积关系,能将正方形的面积关系和直角三角形三边之间的关系进行联系,巩固勾股定理的几何意义,对“勾股形结构”进行简单的识别运用.

变式1如图,是一株美丽的勾股树.所有的三角形都是直角三角形, 四边形都是正方形.已知正方形A,B,C,D的边长分别是12,16,9,12.求最大正方形的面积.

设计意图进一步体会以直角三角形三边为边长的正方形的面积关系,把勾股定理作为一个数学对象,把图形分解为三层“勾股形结构”,感受“勾股树”的美丽.

4.4 图式S 阶段

构建勾股定理知识图式

问题8①你能回忆并回答直角三角形三边关系吗? 你能用数学符号表示这一关系吗? (直角边平方和等于斜边的平方) ②在探究勾股定理的过程中,正方形的面积起到什么作用? 体现了什么数学思想方法? (边长联想到正方形面积,面积转化为边长的平方.体现了转化思想.) ③用面积法证明勾股定理时,计算正方形面积的方法是什么? (割补法) ④在直角三角形中,已知两边长求第三边时,使用勾股定理要注意什么吗? (区别清楚直角边、斜边) ⑤勾股定理作为一个计算直角三角形边长的工具,什么时候可以用? (已知直角三角形两特定边长时可直接用,已知直角三角形任意两边长时要分类讨论,已知直角三角形两边关系且第三边边长时可结合方程思想用)

师生活动教师指导学生对本课堂教学过程进行反思总结,归纳勾股定理知识点.教师在黑板上进行对应板书

设计意图此时勾股定理应当作为一种综合的心理图式存在于脑海里,在学生个体的数学知识体系中占有特定位置.教师分别从勾股定理的实例性质、抽象(一般化) 过程、完整的定义角度引导学生掌握勾股定理形成的方法, 将之压缩为“a2+b2=c2”形式符号成为对象,使其与分类讨论、方程思想联系,完善和建构好勾股定理的心理图式,在日后遇到问题时能快速有效提取信息解决问题.

5 教学反思

本节课受到顾继玲教授启发,“勾股定理具有经验性和演绎性,因此以探究学习为主去设计活动是比较恰当的,只是其中仍包含了一定成分的接受学习.”在活动A、P、O 阶段都十分突出了“探究的过程与方法”,以勾股定理的探究作为教学重难点,依据学生的实际水平,有层次安排了三个探究活动,探究层次从特殊等腰直角三角形—网格下一般化的直角三角形—去网格的任意直角三角形,学生掌握情况良好,有效突破了教学重难点.

本设计认为“勾股定理为策略性知识”,学生必须在“做”的过程中“悟”出勾股定理的内涵.特别在P 阶段突出学生为学习的主体地位,让学生对各种活动操作作出“反省抽象”,对勾股定理用自己恰当的方式进行描述和理解,营造生态课堂,真正让学生“自主建构知识体系”.

教学过程初期,学生就“为什么要研究正方形面积关系”感到不解,更是不容易把面积和边长平方关系作出联系.此处本人还是采取“接受学习”的方式作出处理,在O 阶段处理会徽内涵的时候作了回应.因此本人认为虽然以几何直观切入勾股定理的探究不太自然,但是可以在教学过程中让学生体会这种处理方式的好处妙处,也许是教会学生处理几何图形性质的一种方法.