福建省三明市列东中学(365000) 詹高晟 陈冠文

图1

数学单元复习课除了帮助学生巩固必要的基础知识、基本技能外,更重要的是促进学生学会融会贯通,让解题能力得到提升,应用意识得到增强,数学思维得以发展,数学素养得以落实[1].然而单元复习课没有明确的课标定位,也不像新课教学那样有现成的教材支撑,如何做到复而不重,让学生既见树木又见森林,促进深度思维,值得每一位教师认真思考.2019年9月笔者开设了“特殊平行四边形”单元复习课,课后就这节课的教学展开了深入的讨论,也引发笔者的进一步思考,现整理成文,与同行交流.

1 教学过程简述及评注

片断一问题1: 如图1,是一张平行四边形纸片,你能否用剪刀沿着一条直线剪一次,将这张纸片分成面积相等的两部分? 并说明你这样做的理由.

问题给出后,学生很快回答可以沿对角线AC或BD裁剪,也可以沿过对边中点的直线进行裁剪,并且会进行正确的说理.在学生说理过程中,笔者顺势引导学生梳理平行四边形的主要性质: 平行四边形的对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分.

教师: 除此之外,还有其它裁剪方法吗?

学生1: 经过对角线交点的任意一条直线都可以,有无数种的裁剪方法.

学生1 的回答在班上引起一阵骚动,笔者没有马上追问,而是请这位同学在黑板画出图形(图2),先让学生自已去感悟.图形画出后, 同学们很快流露出明白的眼神,这时,笔者追问: 大家会解释这种画法的依据吗?

图2

学生2:可以证明 ΔAOF∽= ΔCOE, 那 么这就说明EF分出的两部分面积相等.

教师: 说得好! 通过全等, 利用割补的方法把四边形ABEF的面积转化为ΔABC的面积.还有不同的说理方法吗?

学生3: 不用这么复杂,因为平行四边形是中心对称图形,如果把它绕点O旋转180°,四边形ABEF就到了四边形CDFE的位置,他们会完全重合,就说明面积相等.

笔者借助几何画板演示学生3 的说法,让学生有更加直观的认识,加深印象.然后笔者引导学生归纳这些方法的共同点,并指出: 经过对角线裁剪或是沿着过对边中点的直线进行裁剪是这些方法的特殊情况.

【评注】通过一个开放性的操作问题,以问题带动知识,激发学生的学习兴趣,让学生在问题解决中自然唤醒平行四边形的有关性质.由于这个问题解决方法的多样性,有利于培养学生思维的发散性,此题又能做到多解归一,通过归纳不同方法的共性来培养学生数学思维的深刻性.此外,对于学生1 的回答,教师没有马上表明自己的态度,而是留出时间让学生去理解、去感悟,在问题理解中提升数学思维能力.

片断二问题2: 如图3,在平行四边形纸片ABCD中,AB ⊥ AC,AB= 1,对角线AC,BD相交于点O,将直线AC绕点O点顺时针旋转, 分别交BC,AD边于点E,F, 连接AE,CF,求证: 四边形AECF是平行四边形.

图3

学生4: 通过证明ΔAOF∽= ΔCOE,可得AF=CE,利用判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AECF为平行四边形.

学生5: 也可以通过OA=OC,OE=OF来证明四边形AECF为平行四边形.

笔者肯定他们的做法,然后提出以下问题.

问题3: 小亮认为,在旋转过程中,四边形AECF能成为矩形.请你帮助小亮完成证明,并求出此时AE的长.

笔者引导学生先尝试画出符合条件的图形,再来完成证明.

学生6: 作AE ⊥BC,垂足为E, 然后画直线EO, 交AD于点F,就找到四边形AECF了(图4).

图4

教师: 你认为画图的关键是什么? 你如何想到这样画图?

学生6: 因为要成为矩形,就一定要有一个直角,所以就先去做垂直,找到直角,又因为刚刚证过四边形AECF是平行四边形,就能说明这时四边形AECF是矩形.

教师: 很好! 那又如何求出此时AE的长?

通过师生交流, 大家认为可以利用面积SΔABC=从而得到AE=

正当笔者完成该问题的小结,准备进入下一个教学环节时,有位学生举手发言.

学生7: 我画四边形AECF的方法跟学生6 不同,我是以O为圆心,以OA为半径画弧,交BC于点E,这样找到点E,然后画直线EO,找到四边形AECF.

笔者马上意识到这种做法的可行性,并且是一种非常好的方法,为自己备课时没有做这样的预设,内心感到自责,马上追问: 你是怎么想到的?

学生7: 是学生6 的想法提醒了我,还可以用“对角线相等的平行四边形是矩形”来找到矩形,所以我就想去画与AC相等的对角线.

教师: 非常好! 现学现用,在别人的基础上提高自己!

【评注】本环节延用问题1 的图形,通过增加条件,引出新的问题,先借助题目复习平行四边形的判定,再自然过渡到矩形性质与判定方法的复习,思维层次不断提高.无论是在画图探究环节,还是在证明环节,教师不为预设所左右,而是充分利用课堂生成,从多个角度、利用多种方法解决问题,学生思维得到充分展示,真正体现生本课堂.在学生找到画图方法后,教师没有就此“滑过”,而是通过追问“你是怎么想到的”揭示思维过程,体现以培养学生数学思维为导向的教学理念.

片断三问题4: 在旋转过程中, 四边形AECF能成为菱形吗? 若能, 求出此时AE的长; 若不能, 请说明理由.

图5

与问题3 的教学处理方式类似,笔者也由学生先尝试画图,再完成证明.

学生8: 取BC的中点E,画直线EO,交AD于点F,这时的四边形AECF就是菱形(图5).

教师: 你是如何想到的?

学生8: 因为要得到菱形, 就要有邻边相等, 而ΔABC是直角三角形,根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,就有AE=EC.

笔者让学生独立完成证明,并求出此时AE的长.接着追问: 你们还有其它画图方法吗?

学生9: 只要过点O作AC的垂线,与BC交于点E,与AD交于点F,根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”就能得证.

笔者肯定学生的做法, 并顺势归纳梳理菱形知识体系,然后提出问题5.

问题5: 在旋转过程中,四边形AECF能成为正方形吗?

学生10: 因为正方形是“菱形+矩形”,所以只要看图4中的菱形AECF是不是正方形就可以.

教师: 说得对,要成为正方形,就一定是菱形,那么,大家能判断图5 中的菱形AECF是否是正方形吗?

学生11: 不是,因为如果菱形AECF是正方形话,就有AE ⊥BC,根据前面画图知道E为BC的中点,这就要求AB=AC,而由题目可知AC=2/=AB,产生矛盾,所以四边形AECF不可能成为正方形.

教师: 说得好,你采用了反证法的说理思路去说明这个菱形不可能成为正方形.有不同看法的吗?

学生12: 利用图4 也能说明, 只要说明此时的矩形AECF不是菱形就可以了.

教师: 如何说明?

学生12: 可以通过勾股定理计算出EC的长,EC=发现EC /=AE,因而矩形AECF不可能是正方形.

笔者肯定学生12 的做法,并由此归纳正方形的判别方法及性质.在问题1 至问题5 的分析解决过程中,用问题带动知识的归纳,渐次形成如下板书,完善本章知识结构.

?

【评注】采用一图多变,抓住图形变化的核心,问题设置由易到难,不断深入,让学生始终都有清晰的数学思维导向,尤其是问题5 的解决,采用反证法的思考方式,引领学生深度思维,抓住知识和方法的本质,提高灵活应用知识的能力.这里还以问题带动知识,利用图表对本单元的核心内容、主干知识进行了整体建构,进一步完善学生对整章知识体系的把握.

2 教学思考

2.1 问题引领驱动知识建构

本节课摒弃了“知识梳理—例题讲解—巩固训练—深化拓展”这种单元复习课常见的教学模式,而是通过设置层层递进的问题串,以问题串知识,以问题提能力,以问题练方法,以问题悟思想,以问题积经验[2].本节课从一图衍生一课,通过5 个问题直击平行四边形和特殊平行四边形的核心内容,引领有关知识的自然唤醒, 设计的问题既有梯度又有深度,问题与问题之间相互关联,构思巧妙.先通过问题1,激发学生学习兴趣,预热学生思维,再通过问题2 至问题5,逐步梳理平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质与判定方法,绘制章节知识结构图,让学生碎片化的知识形成体系,厘清几种特殊平行四边形的相互关系.同时,本节课把研究重点放在几种特殊平行四边形的判定方法上,这是因为,相较于特殊平行四边形的性质,熟练应用判定方法对于学生来讲困难更大,尤其是判别方法多样,如何根据已知条件灵活选用,更是学生在解题中的一大难点.这节课的教学设计,教师准确把握学情,巧妙设置题组,有效引领学生深度学习,提升学生核心素养.

2.2 问题探究促进深度思维

问题探究不只是为了让学生获得具体问题的答案,还应该关注学生在问题解决过程中所表现出的数学思维能力的提升.课堂上,每个问题提出后,教师都留出充足时间让学生去思考,去感悟,即使有的学生回答出正确答案,也不被少数学生表面的“懂”所迷惑,就此“滑过”思维培养的机会,而是通过追问“你是如何想到的? ”引导学生做更深层次思考,让一些以为理解了其实并不深刻,以为明白了而又难于言表的学生能够“既知其然,也知其所以然”,直击问题本质,把思维引向深入.

这节课重视问题解决策略的多样化, 每个问题解决后,不满足于一题一法,而是通过追问“还有其它方法吗? ”,引导学生从不同角度去思考、去探究,从而达到问题的多解与优化,本节课的5 个问题,每个问题都有多种解法,每一种解法背后都关联着不同的知识点,让学生经历不同解法的选择过程,体验解决问题方法的多样性,以问题解决带动知识归纳,强化基本技能,使学生深刻理解这些知识之间的内容关联,使零散的知识系统化、结构化,内隐的方法显性化,使数学思考伴随整个课堂,体现了数学教学力求思维深刻的价值追求.

2.3 用好生成彰显生本课堂

一堂好课,一定是在师生互动、生生互动的状态中不断向前发展推进的,是一个动态的生成过程,学生的个体差异影响着他们对教学内容、数学思维理解层度的不同,使得课堂教学中的不可控因素增多,学生提出的新问题、闪现的新想法、呈现的新思路都是教师事先无法预设,预料不到的,作为一名教师,关键是要敏锐快速地捕捉到教学过程中的瞬间生成,运用教学智慧及时调整教学思路,变“意外”为“精彩”.本节课,由于考虑不周,预设中并没有学生7 的解题思路,但在他主动举手示意时,教师敏锐地意识到他对这个问题还有疑问,原来是学生6 的思路点醒了他,让他想到还可以用“对角线相等的平行四边形是矩形”来寻找画图方法,正因为学生7 的回答,把问题2 的探究引向深入,对矩形判定方法的认识得到提升.课堂生成是基于师生互动的创造,课堂上面对学生质疑和想法时,教师要及时响应,耐心善待学生学习中的差异,利用课堂生成,在探讨、研究、验证、反思的过程中建构知识,促进课堂生成性资源更好地为目标服务,增强教学的有效性[3].