湖北省武汉市第二十六中学(430030) 程 轲

2020年初,一场疫情从武汉开始席卷中华大地,身在武汉的笔者目睹了一幕幕或难忘或感人的画面,感受到了英雄的武汉人民强大的战斗力,以及全国各地同胞对武汉驰援的真情.笔者主动请缨,下沉社区,为武汉这座英雄城市的复苏,贡献一份力量.

经历疫情后,社会在经济、文化、教育等方面都发生了很大变化.其中,教育行业的变化尤为剧烈,线上与线下相结合的教育教学方式将会是未来教育发展的新方向.借助信息化手段,利用优秀的软件,增强线上和线下的教学效果,是摆在每个教育人面前的新思路.

疫情期间, 2020年3月7日, 在武汉市教育科学研究院统一组织下, 武汉市全体高三学生参加了一次特殊的考试——武汉市2020 届高中毕业生学习质量检测.这应该是人类历史上首次因为疫情的原因,将原本应该在教室进行的全市范围的调研考试放在线上进行.得益于武汉市教育科学研究院、市区教育局及各个学校精心的安排组织,本次考试圆满完成.

笔者目前执教高二,将试卷第一时间分享给学生.这套试卷难度适中,知识点分布全面,不少试题推陈出新,可见命题团队付出很多心血.在学生在线提交的解答中,笔者发现,理科数学第16 题,学生错误率颇高.

原题如下:

16.在三棱锥S -ABC中, 底面是边长为3 的等边三角形,若此三棱锥外接球的表面积为21π,则二面角S-AB-C的余弦值为____.

本题条件叙述言简意赅,但题目中涉及的空间位置关系不好想象,如果是平时课堂教学,笔者肯定会和同学们在教室面对面充分讨论, 一起来一点点构筑出题目叙述的空间位置关系;而在线教学只能通过电脑屏幕和话筒,这就为我们畅谈此题制造了屏障.笔者深入思考,决定借助GeoGebra软件来进行一场数学可视化教学, 将同学们的思考, 利用GeoGebra 软件可视化呈现出来.经过与同学们的交流,取得了较好效果,现摘录如下:

生1: 根据题目条件,我们可以先画出一个底面边长为3的等边三角形的三棱锥S-ABC;

师: 如何保证底面三角形的边长是3 呢?

生2: 我们可以考虑建立一个空间直角坐标系, 在xOy平面中, 定义再在xOy平面外任意选取一点作为S点,这样就可以得到一个底面是边长为3 的等边三角形的三棱锥S-ABC;

师: 好的,你说得很具体,这样我们就可以交给计算机帮助我们绘制这个图形了,这里我使用的是GeoGebra 软件来帮助我们画出这个图形,如图1:

图1

图2

生3: 生2 不完全对, 这里的S点不能随便选取,要满足后面的条件“SA=考虑到SA2+AB2=SB2,S点应该在过A点与xOz平面平行的平面内,以A为圆心,为半径的一个圆上运动.

师: 先做出圆柱x2+z2= 3 和平面y=它们的交线即为过A点与xOz平面平行的平面内, 以A为圆心,为半径的一个圆,如图2.并全程屏幕共享让同学们看到作图的过程,并引导学生多角度观察,如图3、图4.

图3

图4

师: 如何作出三棱锥S-ABC的外接球呢?

生4: 只要找到三棱锥的外接球的球心就好办了,可以利用三棱锥的外接球的球心到三棱锥的各个顶点的距离相等,而在空间,到两个点距离相等的点的集合是这两点连线段的中垂面.这样,我们只需做出线段AB、BC、CA的中垂面,找到它们的交点即可.

生5: 我同意生4 的想法,但不认同他的做法,因为线段AB、BC、CA的中垂面的交点的轨迹是过ΔABC的外心与ΔABC所在平面垂直的一条直线,三棱锥S-ABC的外心在这条直线上,但是无法确定外心的具体位置.我们应当选择不共面的三条线段, 例如做出线段AB、BC、SB的中垂面,找到它们的交点即可.

师: 做出线段AB、BC、SB的中垂面,找到它们的交点G,如图5.利用屏幕共享让同学们看到作图的过程,并引导学生多角度观察,如图6.

图5

图6

师: 以G为球心,GA为半径做出球G,如图7,并引导学生多角度观察,如图8.

图7

图8

师: 现在这个题的空间位置关系我们已经搞清楚了,接下来如何求二面角S-AB-C的余弦值呢?

生6: 取SB的中点F,OC上靠近O的三等分点E,则E、F分别为ΔABC、ΔSAB的外心,∠EOF即为所求二面角S -AB -C的平面角,且GE⊥平面ABC,GE⊥平面ABC;

由4πR2= 21π, 得R2=OG2=GB2- OB2=R2-= 3,GF2=GB2-BF2=R2-BF2=GE2=GB2-BE2=R2-BE2=则ΔGEO∽= ΔGFO,根据以上数据关系,可得∠GOF=二面角S-AB-C的余弦值为

师: 按照生6 的描述,利用GeoGebra 做出如下图9,并引导同学多角度观察,如图10,通过计算,每位同学都得到了正确答案.

图9

图10

至此,同学们在赞叹数学的美妙的同时,也感叹GeoGebra 的强大.

在当前信息化教育背景下,GeoGebra 作为一款优秀的动态数学教学软件,理应被引进中学数学课堂.数学教师可以随时随地用口袋里的手机,为明天的课程所需要解决的几何问题画出准确的图形,为代数问题写出严谨规范的步骤;还可以和学生共同合作来完成.这无疑会大大提高数学教学的效率,并极大的激发学生学习数学、研究数学的积极性.