廖文敬， 开晓山

(合肥工业大学 数学学院，合肥230601)

1 引 言

上世纪九十年代，Hammons等[1]发现某些高效二元非线性码是环4上线性码的二元象，有限环上编码理论获得重要突破，这使得有限环上纠错码理论成为编码理论研究的一个主要方向之一.Wolfmann在文献[2]中研究了4上奇长度的负循环码及其二元象的性质.此后，有限环上常循环码受到学者们广泛地关注.Blackford在文献[3]中确定了偶长度的负循环码的结构.文献[4]得到了伽罗瓦环GR(2a，m)上负循环码及其自对偶码的生成多项式.文献[5]分析了一般有限环上常循环码的研究方法.文献[6]对pm上长度为n的常循环码的周期分布进行了深入研究，其中gcd(n，p)=1.文献[7-8]利用有限环上常循环码构造了参数较好的量子纠错码.

Massey在文献[9]中引入了有限域上LCD码，证明了LCD码是渐近好码.文献[10]证明了二元LCD码可以用于抗侧信道攻击，这引起了学者们对构造LCD码的极大兴趣.文献[11]研究了有限链环上LCD码的存在性.文献[12]给出了有限链环上LCD循环码的性质.最近，文献[13]证明了有限Frobenius环上不存在非自由LCD码，并且构造了4上最优LCD循环码.

2 预备知识

设f(x)是4上次数为m的首一多项式且f(0)=1或3，定义f(x)的互反多项式为

f*(x)=f(0)-1xmf(1/x).

如果f(x)=f*(x)，则称f(x)为4上自互反多项式.设f(x)是4上次数为m的首一基本不可约多项式且deg(f(x))=m，则GR(4，m)=4[x]/〈f(x)〉为4的m次扩环，由伽罗华环相关理论，在GR(4，m)上存在一个(2m-1)次本原单位根ζ使得f(ζ)=0.令Γ={0，1，ζ，…，ζ2m-2}，则任意r∈GR(4，m)可以表示成r=a+2b，其中a，b∈Γ.下面引理给出了集合Γ中元素和的性质.

对于奇数n，设β是4扩环中的n次本原单位根，f(x)是4上首一……