周烁星， 楼红卫

(复旦大学 数学科学学院，上海200433)

1 引 言

在一些习题集中，有如下有趣的问题：

例1很自然地可以推广到其他幂平均的情形.对于整数n≥1和实数α，来定义非负数列a1，a2，…，an的幂平均.

首先，若α>0，或α<0且a1，a2，…，an>0，则定义

(1)

若α<0，且a1，a2，…，an至少一个为零，则令Mα(a1，a2，…，an)=0.

最后，定义

(2)

易见Mα(a1，a2，…，an)关于α∈(-∞，+∞)以及a1，a2，…，an都是单调增加的.自然地，将例1一般化为如下命题.

证(i) 由幂平均的单调性，不妨设0<α<1.由Hölder不等式，有

从而

(3)

为讨论连续性的问题，对于实数α以及[0，+∞)上非负可积函数f，来定义函数f的幂平均函数Mα(f).设x>0.

若α>0，或α<0且f有正下界，则直接定义

(4)

对于α<0 但f不一定有正下界，用下式定义

(5)

类似地，对于α=0，定义

(6)

类似于Mα，Mα(f)关于α单调增加.当f，g非负可积且f≥g时，Mα(f)≥Mα(g).

例1有以下连续型的推广.

证(i) 由幂平均的单调性，不妨设0<α<1.由Hölder不等式，有

因此

(7)

2 离散型结果的一般化

为方便起见，引入如下定义.

有如下命题.

命题2设g∶[0，+∞]→[-∞，+∞]连续且严格单调.若k≠0，b∈(-∞，+∞)，则f∶=kg+b也是 [0，+∞]映到[-∞，+∞]的严格单调函数.则对任何非负实数列a1，a2，…，an成立

特别地，此时f具有性质PD当且仅当g具有性质PD.

由此即得命题.

证必要性显然.只需要证明充分性.

不妨设f严格单调递增，否则由命题2，考虑-f即可.

f(b1)+f(b2)+…+f(bN)≤Nf(δ).

命题3表明f是否具有性质PD只与它在0点附近的取值有关.作为其推论，易得如下命题.

命题4设f，g∶[0，+∞]→[-∞，+∞]均连续且严格单调，f具有性质PD.若存在正常数C1，C2，δ使得对于x∈(0，δ)成立f(C1x)≤g(x)≤f(C2x)，则g也具有性质PD.

命题5设f∶[0，+∞]→[-∞，+∞]，g∶[-∞，+∞]→[-∞，+∞]均连续且严格单调，f具有性质PD.进一步，设以下条件之一成立: (i)f单增，g-1凸; (ii)f单减，g-1凹.则g∘f也具有性质PD.

证对于非负数列{an}，有

由此即得g∘f也具有性质PD.

提请读者注意，在g∶[-∞，+∞]→[-∞，+∞]严格单调的前提下，g-1凸当且仅当g凹且单增或g凸且单减.而g-1凹当且仅当g凸且单增或g凹且单减.

3 连续型的进一步推广

类似于定义1……