周 燕， 林丽琼， 任立英

(福州大学 数学与计算机科学学院，福州350108)

1 引 言

众所周知，无穷小等价替换极大简化了一些极限的求解[1]，但在具体应用过程中，细节的错误经常会出现.比如应用无穷小等价替换计算极限时，要求在x0的某个去心邻域里没有零点，很多人在做题过程中往往忽略这一点.

例如错误做法：

二元函数极限的判别与求解方法众多[2-3]，其中应用极坐标计算二元函数的极限是常用的一种方法，但应用时有诸多复杂的限制[4-5]，本文针对一类特殊函数给出了便于计算应用的若干结论.

2 主要结果

类似地有

证法同引理1

(i) 在E中，β(x)与β1(x)的零点相同，记E1={x∈E|β(x)=0}={x∈E|β1(x)=0}；

(ii) 对任意ε>0，存在0<δ2≤δ1， 当0<|x-x0|<δ2，且x∉E1时，有

则

证令

由引理1得

同样，由引理2可得如下类似结论：

定理2设β(x)与β1(x)为x→x0时的无穷小，在x0的任一去心邻域，β(x)，β1(x)均有零点，γ(x)在x0的某去心邻域内有定义，若存在x0的某个去心邻域E={x|0<|x-x0|<δ1}满足：

(i) 在E中，β(x)与β1(x)的零点相同，记E1={x∈E|β(x)=0}={x∈E|β1(x)=0}；

(ii) 对任意ε>0，存在0<δ2≤δ1， 当0<|x-x0|<δ2，且x∉E1时，有

则

大家知道应用无穷小等价替换计算极限时，要求在x0的某个去心邻域里等价替换的函数没有零点，而定理1则把无穷小等价替换的结论进行了推广，它说明在求解极限时，分子若应用无穷小等价替换时，允许x0任意去心邻域函数都有零点，只要满足两个无穷小在x0的某个邻域内零点相同，并且不考虑零点的时候，表达形式满足通常等价的情况，也即非零点x在充分靠近x0时满足

则计算极限时是可以将β(x)与β1(x)进行替换的.

经常碰到的题目忽略了等价替换的条件，利用等价替换得到的结果都是正确……