刘筱玥， 江 滟， 邵 悦

(扬州大学 数学科学学院，江苏 扬州225002)

1 引 言

(1)

的mild解的存在性，其中Dα表示α阶Riemann-Liouville分数阶导数，Iγ表示γ阶黎曼-刘维尔型的分数阶积分，f∶[0，1]×→定义为特定函数，它符合相应条件.

阶为分数的微积分是由经典整数阶微积分推广而来，在记忆和遗传材料，流变学和力学系统，高分子材料等物理化学领域都有着广阔的现实价值.在非整数阶的微积分理论不断开拓创新的大背景下，阶为分数的微积分已经成为数学界研究的热点.文献[1]在Banach空间中讨论了非线性分数阶微分方程边值都为零的情况下解是否存在的问题.

本文旨在讨论特定的非线性的分数阶的微分方程在其边值不等于零时解是否存在的问题，设微分方程及其边值为(1)式.综合运用Schauder不动点定理等，尝试讨论f在一些比较弱的条件下，边值问题(1)的适度解是否存在，例如条件为：Caratheodory型条件等.由于当函数的初始值非零时，Riemann-Liouville分数阶导数的奇异性带来困扰，因而初始值非零的情形并非对初始值为零的简单推广.

2 预备知识

定义1[2]设h∈L1([a，b];)，α>0，定义算子)→C([a，b];)为

定义2[2]设h∶[a，b]→，α>0，n=[α]+1，定义

则上式叫h在t点的α阶Riemann-Liouville分数阶导数， 式子中的[α]是指实数α的整数部分.

根据Riemann-Liouville分数阶积分的定义，能够推导得到，算子I对指标满足半群性质，也就是说，对于α，β>0，t∈[a，b]，有

引理1[2]若Dαu∈L1([0，T];)，n-1≤α

3 mild解的存在性

为讨论边值问题(1)解的定义，先讨论相应的线性方程.设g∈C([0，1];)，α∈(1，2)，β∈(0，1).考虑分数阶线性微分方程边值问题

方程两边作用积分算子Iα，得

IαDαu(t)=aIαDβu(t)-Iαg(t).

(2)

由于1<α<2，由引理1知，存在常数c1，c2，使得

IαDαu(t)=u(t)+c1tα-1+c2tα-2.

(3)

由α阶Riemann-Liouville分数阶积分的性质得

IαDβu(t)=Iα-βIβDβu(t).

(4)

由于0<β<1，由引理1知，存在常数c3，使得

IβDβu(t)=u(t)+c3tβ-1.

(5)

将(5)式代入(4)……