张胜良

(南京林业大学经济管理学院,江苏 南京210037)

1.引言

本文研究一类守恒律型方程的无网格辛算法构造问题,所考虑的守恒方程具有如下形式:

这里Jx是Poisson结构(或辛结构),H是Hamilton函数,是泛函导数.例如,令Jx=∂x以及

就可以得到Korteweg-de Vries(KdV)方程:

其中ε和µ都是正常数.KdV模型一直都是学术界研究的热点问题[12].一些学者研究KdV方程的显式解,比如文[8].由于显式解难以推导,因而学者提出了一些数值解法[5−6,9−10].

另一方面,系统(1.1)是一个Hamilton系统,它具有辛结构.因而数值求解Hamilton系统,也需要保持辛结构守恒.在这个指导思想下,学者提出并发展了一些经典辛算法[1−2,11].经典辛算法的构造多是结合传统的基于网格类方法,如有限差分方法、有限元方法、谱方法等,因而面临不规则区域求解问题、散乱采集点问题等挑战.

基于径向基逼近理论,本文将研究KdV方程的无网格辛算法构造问题,基于径向基无网格理论构造辛算法是新的研究视角,具有原创性.径向基方法是一种理想的无网格逼近方法,它不仅在工程技术领域得到广泛应用,而且被广泛应用于科学计算领域[3−4,7].

其中ϕ(r)是径向基函数,向量f= [f(x1),··· ,f(xM)]T以及插值矩阵Φ = (ϕ(∥xi −xj∥)).另外根据文[13],导数具有逼近形式:

这里γ=(γ1,··· ,γd),γj ∈Z,ℓ是对导数的逼近阶.

本文结构如下.在第二节,我们通过径向基空间离散Hamilton函数以及Poisson结构,将KdV方程转化为一个有限维的Hamilton系统.在第三节,利用辛积分子时间离散有限维系统,就可以构造出无网格的辛算法.本节进一步讨论了所构造辛算法的守恒性和……