广东 古君文

2020年高考已落下帷幕,从对2020年高考解析几何的考查内容来看,此类题型相对稳定,分布合理,其中有一道题要求较高、难度较大、综合性强,考查考生的综合能力.纵观历年高考,求解离心率的题目出现频率较高,是考查热点和难点;如2019年全国卷Ⅰ理科第16题,作为压轴题进行考查;2020年全国卷Ⅰ理科第15题,作为中高档题进行考查.因此,求解离心率的问题值得深入探讨和思考.

离心率是平面解析几何的一个重要性质,它刻画几何图形的形状规律,针对求离心率的题型,通常采用代数法或几何法.根据离心率的定义,需借助图形利用数形结合,挖掘已知条件,先求出a,c,再代入公式求出e,此类题属较简单的题型;但大部分题目因所给的条件限制,a,b,c是未知的,或不易求出a,c的值.因此,需把条件转换成相应数学关系,巧妙地利用平面几何内容、向量内容、三角形的边角关系等,列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),消去b,转化为含有e的方程(或不等式)求解,这就是解题的突破口.

这类题型是经常考的,解题要遵循三个规律.一个关系:找寻a,b,c的关系;两手抓:“数”与“形”都得抓;三个素养:数学运算、数字抽象、数学建模.下面通过对2020年全国卷Ⅰ理科第15题进行分析、探讨、变式、方法总结，获得教学思考,并延展解决近几年此类高考题.

1.试题呈现

本题是求双曲线的离心率,且不能直接求出a,c,因此挖掘题目条件,通过数形结合,我们容易发现题目条件“AB的斜率为3”是解题的关键,也……