陕西 刘正章

1.试题呈现

(2020·全国卷Ⅲ理·12)已知55<84，134<85.设a=log53，b=log85，c=log138，则

( )

A.a

C.b

【点睛】我们知道实数具有基本性质，即任意两个实数a，b必定满足并且只满足下列三个关系之一：ab.因此基于所学基本知识和方法的比较大小问题高考年年考也就不足为怪了，特别是指数、对数的比较大小问题.本题考查对数式的大小比较，试题设计很有特色：第一，考查的知识点丰富，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化、换底、乘方以及指数函数的单调性等；第二，解法多样，作差、作商、函数单调性、界值法等；第三，人文关怀，为降低难度，给出辅助信息55<84，134<85；第四，体现数学文化，由斐波那契数列数3,5,8,13构成对数式，让人叹服.

2.试题解析

由对数函数性质易得a，b，c∈(0,1).

首先考虑a，b的大小关系.由于两个对数式的底数和真数均不同，所以利用比较大小的基本策略“作差(或作商)”将二者结合起来研究，有：

途径二：由b=log85，c=log138，得8b=5,13c=8，

又因为55<84，134<85，所以134c=84>55=85b>134b，所以b

途径三：由已知得5b=log855log13134=4，所以b

3.题型反思

虽然在教材中没有单独安排“比较大小”的课节，但高中阶段指数和对数的比较大小问题却比比皆是.此类题型往往小而巧，类型不同解决方法也存在差异，但主要还是考查学生灵活运用基本知识的能力.下面仅从高考复习备考的视角来看比较大小的几种常见类型：

3.1比较指数式的大小

【例1】(2014·湖北试题改编)比较e3，3e，eπ，πe，π3，3π的大小.

【解析】因为e<3<π，且函数y=xe，y=xπ，y=ex，y=πx在(0,+∞)上单调递增，所以3e<πe<π3，e3

综上可得，3e

3.2比较对数式的大小

【例2】若a=log23，b=log32，c=log46，则下列结论正确的是

( )

A.b

C.c

【评注】比较两个对数大小时，尽量化为同底或同真数，当底数相同，真数不同时，构造同底对数函数，然后比较大小；当真数相同，底数不同时，可以先用换底公式化为同底后再比较，或构造两个对数函数利用图象比较大小；当……