朱庆 王喜 汪海玲

【摘要】二阶常系数微分方程在微分方程的研究中具有十分重要的意义。若非齐次项为g（t）=eαtPn（t）cos（βt）或eαtPn（t）sin（βt）时，待定系数法即先假设方程的某种形式的特解，其系数是待定的，它是求解这类微分方程特解的常用方法。这种方法的优势在于将特解带入方程后就可直接待定出常系数，其局限性是需准确写出特解的假设形式。本文将结合欧拉公式及线性微分方程解的一般理论，证明在当前非齐次项形式下，其特解的假设形式为什么不能设为如下sin 和 cos 函数具有比例对应关系的表达式：eαtQn（t）（Acos（βt）+Bsin（βt））。

【关键词】二阶微分方程  待定系数法  欧拉公式  特解

【基金项目】广西研究生教育创新项目“双一流建设背景下广西高等院校研究生创新能力和职业能力发展的培养研究”（JGY2019030）;广西师范大学第三批课程思政示范课程建设项目重点项目“常微分方程”（项目主持人——朱庆）;广西师范大学第四批课程思政示范课程建设项目“数学建模”（项目主持人——彭华勤）;广西师范大学大学生创新训练项目“基于我校学情的一体化数学分析习题集的建立”（202110602213）;广西师范大学2019年课程思政示范课程建设项目“数学分析”（项目主持人——马林涛）。

【中图分类号】O175.1          【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2021）30-0060-02

待定系数法用于常系数微分方程

ay″+by′+cy=g（t），a，b，c为任意常数        （1）

右端g（t）是某些基本函数的情况，常见的有多项式、指数函数、正弦（或余弦）函数以及它们的某种乘积组合。这种方法的特点就在于不需通过积分运算，而用代数方法即可求得非齐次线性微分方程的特解，即将求解微分方程的问题转化为某一个代数问题来处理，因而比较简便。……