刘桂东 郑玉国 苏小囡

【摘要】泰勒公式在极限的计算中有着重要的应用，熟练运用泰勒公式在很多情况下可以提高极限计算效率。本文将结合例题对利用泰勒公式计算极限的方法进行深入探讨，并详细解释泰勒展开公式中“幂次最低原则”的含义。

【关键词】泰勒公式  极限计算  幂次最低原则

【基金项目】江苏高校哲学社会科学研究项目（2021SJA0362）;江苏省高等学校自然科学研究面上项目（批准号：20KJB110012）资助。

【中图分类号】O13    【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2021）37-0137-03

一、引言

作为高等数学的基石，极限基本贯穿了整个高等数学[1]。从函数的连续性、可微性到积分、无穷级数，极限无处不在。因此，在理解极限定义的基础上，如何快速准确计算函数或数列极限也是高等数学的重点和难点之一。极限的计算方法可以大致总结为连续函数定义法;极限四则运算法;夹逼准则法;指数对数法（幂指函数）;定积分定义法;等价无穷小替换和洛必达法则;泰勒（Taylor）公式法 [2-3]。其中洛必达法则可以说是这几种方法中应用范围最为广泛、并且也是相对简单的方法之一，主要用于“”型、“”型、“0·∞”型、“1∞”型等未定式的计算中。在运用洛必达法则时，一般要先考虑首先采用等价无穷小替换，以简化极限的表达式，然后对表达式的分子和分母同时求导数。但对于一些复杂的分式极限计算，等价无穷小替换往往是不够的，而且很容易计算错误。例如：计算极限，若采用等价无穷小替换，则分子等价为sin（sinx）-x～sinx-x～x-x，显然这里等价无穷小替换是错误的。……