倪晓文

(同济大学土木工程学院，上海 200092)

0 引言

弹性地基梁理论在实际的工程应用中较为广泛，尤其是在海底的沉管、地下建筑结构中。Timoshenko等[1]最先研究了单跨有限长弹性地基梁的线性屈曲问题。近年来，众多学者对弹性地基梁的屈曲问题开展了一系列研究。2011年，于永平等人[2]针对无限长预应力弹性地基梁后屈曲问题给出了数值解。事实上，对于此类问题，将土体简化成Winkler弹性地基仍有不足，比如土体对杆件的受拉约束可以忽略，因此弹性地基梁的屈曲问题本质上属于“单边接触屈曲问题”[3]。2018年，Wang等[4]研究了隧道施工中顶管的屈曲问题，将顶管周围的土体简化为仅受压不能受拉的弹簧，采用有限条法分析钢管的屈曲，研究了径厚比、基床刚度系数对钢管屈曲的影响。本文将针对弹性支承的两跨连续梁单边接触屈曲问题采用解析法进行求解，并研究弹簧刚度对屈曲模态的影响。

1 控制方程的建立

如图1所示，一弹性支承的两跨连续梁承受纵向荷载，弹簧仅能受压、不能受拉，弹簧刚度常数为k。虚线为可能发生的失稳形式。

杆件的弹性弯曲应变能：

(1)

弹簧的应变能：

(2)

体系的荷载势能：

(3)

其中，θ为杆件微段的转角。考虑小变形：

弯曲应变能变分：

(4)

弹簧应变能变分：

(5)

对式(4)进行分部积分：

(6)

注意，上式用到了边界条件：

(7)

同理，体系势能变分：

(8)

能量泛函：

∏=U1+U2+V

(9)

上式代入Euler-Lagrange方程：

(10)

可以得到连续弹性地基梁进行线性屈曲分析时的控制方程：

(11)

2 控制方程的求解

为了后续推导方便……