苏利

摘要：解题教学作为一种教学形式，在数学教学中居于重要地位。解题教学不只在于解题，还在于培养学生的思维、挖掘数学思想方法、关注和培养学生的问题意识以及数学核心素养。

关键词：数学解题教学  教学思考

解题教学作为一种教学形式，在数学教学中居于重要地位。解题教学不只在于解题，还在于挖掘题目背后的教育价值。下面，笔者结合一道试题，就教学与思考加以阐述，与大家交流。

一、教学再现

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为22，点2，2在C上。

（1）求C的方程;

（2）直线l不經过原点O，且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值。

这是2015年普通高等学校招生全国统一考试Ⅱ卷文科数学第20题。问题提出后，学生独立思考，自主探究。十分钟后，生1给出了如下的解答（解法1）。

解法1：（1）由题意有a2-b2a2=12，又4a2+2b2=1，解得a2=8，b2=4。所以椭圆的方程为x28+y24=1。

（2）设直线l：y=kx+mk≠0，m≠0，Ax1，y1，Bx2，y2，Mx0，y0。将y=kx+m代入x28+y24=1，得2k2+1x2+4kmx+2m2-8=0。

x1+x2=-4km2k2+1，故x0=x1+x22=-2km2k2+1，y0=kx0+m=m2k2+1。

于是直线OM的斜率k′=y0x0=-12k，即k′k=-12。

所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值-12。

师：你是如何想到这种解法的？

生1：由直线与椭圆的方程，利用消元法可得到线段AB的中点M的坐标，从而证明出结论。

师：其他同学有不同的想法吗？

生2给出了另一种解答（解法2）。

解法2：（1）同上;

（2）设Ax1，y1，Bx2，y2，Mx0，y0，则x0=x1+x22，y0=y1+y22。因为A，B在椭圆上，所以x128+y124=1x228+y224=1，两式相减得，x1-x2x1+x28+y1-y2y1+y24=0，即y1-y2x1-x2·y0x0=-12。

所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值-12。

师：你如何想到的呢？

生2：由点差法可以得到直线的斜率以及所截弦的中点坐标之间的关系，进而可以证明结论。

师：以上两位同学分别用消元法、点差法给出了不同的解答。