北京大学附属中学(100190) 单治超

均值不等式是高中数学的重要内容, 其内容容易理解,但是具体运用时则灵活多变.国家课标对均值不等式的要求难度并不高.但是2020年的北大和复旦强基计划数学试题都考查了利用待定系数法结合均值不等式解决给定条件下多元函数的最值问题.我们又注意到前两年的清华领军计划也都考查了类似的题目.这类题目的频繁出现,使得准备强基计划的同学必须引起高度重视.为此,我们撰写本文对这种方法进行一点梳理.

我们用到的工具很简单:

定理1(具有待定系数的二元均值不等式) 对任意C ＞0,x ＞0,y ＞0,当且仅当y=C2x时取等号.

证明显然.

例1(2020年北大强基计划第9 题) 求使得5x+12>xy≤a(x+y) 对所有正实数x,y都成立的实数的最小值a.

解易见这个最小值就是二元函数f(x,y) =在条件x ＞0,y ＞0 下的最大值.对任意C ＞0,

为了让不等式的右端除以x+y是个定值, 我们令5 + 6C=即C=此时我们得到f(x,y) ≤9.很容易验证等号可以取到.所以f(x,y) =在条件x ＞0,y ＞0 下的最大值是9.因此a的最小值是9.

从这个例题我们领会到, 利用待定系数的均值不等式,关键点在于令待定的系数能够使得两个式子的比例为定值.

我们再做一道例题巩固对这种方法的理解.

例2(2020年复旦强基计划第2 题)已知实数x,y满足x2+2xy −1=0,求x2+y2的最小值.

解对任意C ＞0,

为了令不等式的右端与x2+y2的比例为定值, 我们令1+C=即C=于是x2+y2≥容易验证等号可以取到,所以x2+y2的最小值是

前面两个例子都是2020年强基计划的试题.事实上,这种方法在以往的清华领军计划试题中……