湖南省会同县第一中学(418300) 于先金 杨 瑜

一、试题呈现,简洁对称

题目(江苏省镇江市2018 届高三上学期期末(一模)统考试题第13 题)设a,b ∈R,且a+b=4,则的最大值为____.

这道试题简洁、对称、优美,设有陷阱并有一定难度,主要考查转化化归思想与运算能力, 考查基本不等式的应用,考查的核心素养是逻辑推理和数学运算.

二、几点疑问,引发探究

不少学生一拿到这道题,认为这还不简单,这是一道填空题,只要结果不要过程,根据题设条件和目标式的对称性,显然应该当a=b=2 时,y=取得最大值,所以所要求的最大值为

答案错了! 错在哪里?

对这道模拟题,各种资料和网上都这样写道: 本题考查的内容是基本不等式,是一道原创题,考查的技能和能力是转化化归思想与运算能力,答案是遗憾的是都没有给出详细的解答过程,也许是解答过程过于简单的缘故.

三、解法探究,殊途同归

解法1(化归一元,不等放缩)

因为a+b=4,所以可将目标式通分化简

因为a+b= 4,所以16 = (a+b)2=a2+b2+2ab≥2ab+2ab= 4ab,所以ab≤4.令x= 9−ab,所以x≥5,当且仅当x=即x=时等号成立.所以的得最大值为

这种解法也许是命题人所希望的解法,真正体现了转化化归思想,考查了学生的运算能力,考查的数学核心素养是逻辑推理和数学运算.

解法2(导数登台,单调唱戏)

由解法1 得y=及ab≤4,令x=ab,则y=f(x)=其中x ∈(−∞,4].易求得从而f(x) 在区间(−∞,9−上单调递增, 在区间上单调递减,则所以的得最大值为由上可知,当x →−∞时,f(x)→0,所以y的取值范围是

利用函数的单调性来解最值问题,对函数值的变化情况就一目了然了.

解……