安徽省芜湖市第一中学(241000) 刘海涛

《中国高考评价体系》指出:“高考要求学生能够触类旁通、融会贯通,既包括同一层面、横向的交互融合,也包括不同层面之间、纵向的融会贯通”.在教学过程中,对于一些典型问题,如果我们能够从不同角度思考,寻求不同的解法,以一题多解的方式寻求知识间的内在联系,构建知识的网络体系,加深对问题的本质认识,定会拓宽解题视野,发散解题思维,提升学习兴趣,提高解题能力.在清华大学2020年9月举办的中学生标准学术能力测试中,有一道二元二次函数最值题,笔者从四个角度予以分析,给出8 种解法,现与读者分享交流.

1 试题呈现与分析

题目(2020 清华中学生标准能力测试理科第16 题)已知实数x,y满足4x+y+2xy+1=0,则x2+y2+x+4y的最小值为____.

分析该题形式上以二元二次方程为背景命题,主要考查分析、解决二元二次问题的能力,强化对转化与化归、函数与方程、消元与不等式求最值等数学思想方法的考查,体现了逻辑推理、数学运算、直观抽象等数学核心素养.试题结构虽简单、明了,但内涵丰富[2],值得研究,以发挥该题的最大价值.

2 解法探究

角度一: 借助不等式,化等式为不等式求出最值

解法1(消元+基本不等式法)由4x+y+2xy+1=0得y=则

评注化二元为一元是解决二元函数的最直接做法,通法是消去其中一个变量,得到关于另一变量的函数,接着利用不等式、对勾函数、求导等求出最值.

解法2(因式分解+基本不等式法)由4x+y+2xy+1=0 得(2x+1)(y+2)=1,则

评注通过代数化简, 发现……