甘肃省兰州市第六中学(730060) 焦永垚

数列不等式的证明是高中数学中的重点和难点,是历年高中各类考试中的热门考点,这类问题通常难度较大,具有很高的综合性与灵活性.本文以2019年全国高中数学联赛贵州省预赛试题(B)卷第16 题为例,从不同角度探寻放缩法证明数列不等式的策略与方法,重点阐述如何选择合理地放缩思路,如何准确把握放缩的“尺度”,以期能帮助同学们从根本上认识放缩法的规律,从而优化解题方法,提升解题能力,提高解题效率.

一、试题分析

题目设数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=k·qn−k,其中k,q为非零常数,且a1=3,a4=81.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设bn=an −证明:

分析第(1)问考查数列的基础知识,易求得an= 3n.第(2)问是数列不等式的证明,数学归纳法是解决这类问题的优选方案.

当n=1 时,不等式成立.

假设当n=k(k ∈N∗) 时结论成立, 即那么当n=k+1 时, 因为bn −3bn−1=＞0, 所以bn ＞3bn−1, 即(n≥2), 则即当n=k+1 时不等式也成立.

综上,对于一切正整数n,不等式都成立.

可以看到,上述方法中我们需要克服以下三个难点:

(1)如何利用归纳假设?

要证明当n=k+1 时结论也成立,如何利用归纳假设,是解决问题的的关键, 为了利用假设, 我们需要找出与的关系, 要找出的等量关系难度太大,所以考虑它们的不等关系,也就是放缩.

(2)怎样放缩?

因为bn= 3n −容易发现{bn}为递增数列,所以(n≥2), 因此我们会首先做这样的尝试: 当n=k+ 1 时,放缩过度了.

(3)如何调整放缩度?

经历(2)的尝试,发现放缩过度了,需要调整放缩的度:如果忽略bn= 3n −中的则有bn= 3bn−1(n≥2),于是我们猜想bn ＞3bn−1,是否成立呢? 因为bn −3bn−1=＞0,所以bn ＞3bn−1,可……