云南省玉溪第一中学(653100) 武增明

选取以角为自变量解题,是高中数学解题的一种常用方法,但多数同学往往想不到、用不上.选取以角为自变量的解题方法,有着十分广泛的运用,如: 求点的横坐标或纵坐标的取值范围(最值),求圆锥曲线离心率的取值范围(最值),求三角形的边长、面积、周长的取值范围(最值),求三角形的两边之和或之差或之积或之商的取值范围(最值),求多面体的体积的取值范围(最值)、求平面凸多边形的边长、面积、周长的取值范围(最值)等等.如何选取角为自变量进行解题研究,以下举例说明,旨在抛砖引玉,以飨读者.

1.求点的横(纵)坐标的取值范围(最值)

例1(2014年高考全国Ⅱ卷理科第16 题) 设点M(x0,1), 若在圆O:x2+y2= 1 上存在点N,使得∠OMN= 45◦,则x0的取值范围是____.

图1

分析选取∠MNO为自变量,记∠MNO=α,应用正弦定理建立x0与α的关系式,问题转化为求角α的三角函数的值域问题.

解因为点M(x0,1) 在直线y= 1 上运动, 记∠MNO=α, 如 图1, 则∠MON+α= 135◦, 所 以0◦ ＜ α ＜135◦, 又因为MO≥ON, 所以在∆MON中知,α≥45◦, 于是45◦≤α ＜135◦.在∆MON中,因为MO=√ON= 1, 所以由正弦定理, 得从而问题转化为求角α的三角函数的值域.因为45◦≤α ＜135◦,所以解之,得−1 ≤x0≤1,从而x0的取值范围是[−1,1].

2.求线段长度的最值(取值范围)

例2在边长为2 的正三角形ABC的边AB,AC上分别取M,N两点,点A关于线段MN的对称点A′正好落在BC边上,则AM长度最小值为____.

分析连接A′M, 如图2, 因为AM=A′M, 所以问题转化为求A′M长度的最小值.在∆BMA′中, 因 为∠B= 60◦,又 设AM=x, 则A′M=x,BM= 2−x, 选取∠BA′M为自变量, 记∠BA′M=θ, 运用正弦定理建立x与θ的关系式,问题又转化为求x关于角θ的三角函数的最值问题.

图2

解连接A′M, 如图2, 设AM=x, 则A′M=x,BM= 2−x, 记∠BA′M=θ, 则在……