广东省佛山市罗定邦中学(528300) 龙 宇

在高考题中,关于立体几何的考察一般都是“两小”(选择或填空)“一大”(解答题).在历年的高考题中,出现了一大批经典的好题.笔者为了给高三复习准备资料,特意梳理了一下,发现2009年全国卷理科第8 题是一道难得的好题,笔者从模型化的角度对该问题进行了深度的分析,现将研究的过程整理如下,以飨读者.

一、引例

题目(2009年高考全国卷理科第8 题) 如图1, 正方体ABCD −A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=则下列结论中错误的是( )

A.AC⊥BE

B.EF//平面ABCD

C.三棱锥A −BEF的体积为定值

D.异面直线AE,BF所成的角为定值

分析本题是在正方体的基础上,考察线面的位置关系,三棱锥的体积问题以及异面直线的夹角问题.该图形是学生所熟知的图形,考察的知识点也是平时教学的重点内容,但是又稳中有变,四个选项均是在E,F运动的状态下进行判断的结论.该题可求解的方法很多,即可使用传统几何法,也可使用向量法进行求解.

解析点E在运动的过程中,直线BE形成的“轨迹”⊂平面BDD1B1, 显然AC⊥平面BDD1B1, 故选项A 是真命题.

点E,F在运动的过程中,EF始终⊂B1D1,在立方体中,B1D1//平面ABCD显然成立,故选项B 是真命题.

根据三棱锥的体积公式VA−BEF=· S∆BEF ·dA−BEF, 其中面BEF= 平面BDD1B1, 故点A到平面BEF的距离等于点A到平面BDD1B1的距离, 即有dA−BEF=考虑∆BEF, 其面积为:S∆BEF=·dB−EF,显然可知BB1⊥EF,故dB−EF=BB1=1,则有S∆BEF=带入体积公式即有V=为定值,故选项C 是真命题.______

图2

关于选项D, 本文仅介绍传统几何法, 关于异面直线的夹角, 一般通过平行关系, 平移一条直线与另一条直线相交, 将原问……