周炼

在“锐角三角函数”这一章中，同学们通过学习，大多可以掌握解直角三角形的方法，但如果题目中的三角形不是直角三角形，而是锐角三角形或钝角三角形，你还能根据其中的一些条件求出其他元素吗？解“非直角”三角形有哪些情形？它们与解直角三角形之间又有怎样的联系呢？

一、“两边一角”型

例1 如图1，在△ABC中，∠A为钝角，AB=25，AC=39，sinB=3/5，求tanC和BC的长。

【解析】这道题给出了三角形的其中两条边和一个锐角的三角函数值，但这些条件都不在直角三角形中，而是在一个钝角三角形中，要想将它们用起来，就要通过作辅助线给AB、AC、∠B、∠C都找到属于自己的直角三角形。通过分析我们发现，如果过点A作AD⊥BC于点D（如图2），那么在Rt△ADB中，由sinB=AD/AB=3/5，可以求出AD=15，再由勾股定理得出BD=

。在Rt△ADC中，同样由勾股定理可以得到

，从

，BC= BD+CD=20+3 6=56。

二、“两角一边”型

例2 如图3，在△ABC中，∠A=120°，∠C=45°，AB=2，求AC的長。

【解析】可能同学们看到∠A =120°这一条件会觉得无从下手，因为1200的角是钝角，其三角函数值已经超出了我们目前所学的内容。那么，如何对这一条件进行合理的转化呢？联系七年级学过的角的相关知识，不难想到虽然120°的角是钝角，但是其补角60°却是锐角，所以只要作出BA或者CA的延长线就可以将120°转为60°使用，但是到底延长哪一条边依然值得思考。这道题给出的条件是三角形中两个角的度数和一条边长，我们发现如果要同时构造关于∠A的补角，∠C以及边AB的直角三角形，只能延长CA，并过点B作CA延长线的垂线交于点D（如图4），根据锐角三角函数的定义以及特殊角的三角函数值，在Rt△ADB中可以求出AD=1，BD=3，在Rt△CDB中可以求出CD=3，从而AC=CD-AD=3-1。……