刘丽芳

第七章 锐角三角函数领衔人：钱德春组稿团队：江苏省泰州市初中数学教师发展共同体

锐角三角函数是初中数学九年级下册的重要内容，利用锐角三角函数可以解决各种图形计算和证明问题，然而这一切都基于锐角三角函数定义，可以说数学定义是数学之根、方法之魂。

初中阶段的锐角三角函数定义如下：

如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则sinA=cosB=a/c，cosA=sinB=b/c，tanA=a/b，tanB=b/a。

在解决相关问题时，如果回到定义，或许会让你眼前一亮。如在特殊角三角函数值的计算中，有时会忘记具体的数值，或将几个角的函数值混淆。我们不妨拿出手中的三角板，利用三角函数的定义便能迅速得出所有特殊角的三角函数值。这里，通过几个例题来说明“回到定义”的解题策略。

例1 △ABC中，∠C=90°。

（1）若tan∠A =3tan∠B，求∠A的度数;

（2）若tan ∠A=3cos ∠B，求sin∠A的值：

（3）若sin ∠A、sin ∠B是方程25x2-（ 3m+5） x+m+2=0的两个实数根，求m的值。

【解析】这些问题看似无从下手，但由于∠A、∠B都是直角三角形的锐角，不妨回到定义。

（1）由tanA=a/b、tanB=b/a和tan∠A=3tan∠B，则有a/b=3.b/a，从而a=3b，所以tanA=a/b=3，故∠A=60°。

（2）答案：sin∠A=22/3。該问题与第（1）题方法类似，请同学们自主完成。

（3）首先要考虑sin ∠A与sin ∠B之间有什么关系。依然回到定义：由于sinA=a/c，sinB=b/c，所以sin2A+sin2B=（a/c）2+（b/c）2=a2+b2/c2，而a2+b2=C2，所以sin2A+sin2B=1，即方程25x2-（ 3m+5） x+m+2=0两根的平方和为1。由一元二次方程根与系数的关系，得sinA+sinB=3m+5/25，sinA.sinB=m+2/25。由sin2A+sin2B=l，有（sinA+siriB）2—2sinA sinB=l，即（3m+5/25）2—2.m+2/25=1，解得m1=lO， m2=-70/9，因为sinA+sinB=3m+5/25>0，m>-5/3，故m=10。当然还要验证根的判别式是否不小于0。

【点评】遇有直角三角形锐角的三角函数问题，不妨回到定义，将三角函数转化为线段的比，再通过几何方法解决，这是解决相关问题的策略之一。

例2 已知a、β为锐角，tana=1/2，tanβ=1/3，求a+β的度数。

【解析】由条件“a、β为锐角，tana=1/2，tanβ=1/3”，继续回到定义，应该联想到构造直角三角形。如何构造？

方法一：如图2，作△ABC，使∠C=90°，BC=a，AC=2a，延长CA到D，使AD=a，则∠BAC=a，∠D=β。取AC中点E，连接BE，则∠BEC=45°，易证△A EB-△BED，故∠D=∠EBA=β，而∠EAB+∠EBA=∠BEC=45°，所以a+β=45°。

方法二：构造如图3所示的图形，设CD=6a，AD=3a，BD=2a，则∠ACD=a，∠BCD=β。求a+β的度数就是求∠ACB的度数，即求∠ACB的三角函数值。故作AE⊥BC，E为垂足，将问题转化为解Rt△AEC的问题。而图中所有线段均可求，故∠ACB的三角函数值可求。具体过程请同学们自主完成。

例2给出的条件是两个角的三角函数值，看似相互独立、互不相关，让人有无从下手、山穷水尽的感觉，但回到定义构造直角三角形后，立即给人以柳暗花明、茅塞顿开的快意，这正是回到定义的魅力。

两道例题的思路告诉我们：数学定义是数学的源头，是数学发展的基石，在数学学习中不能忽视定义的作用。我们要理解数学定义的内涵与本质，充分发挥数学定义在解决问题中的作用。一句话：回到定义，魅力无穷！

（作者单位：江苏省泰州市第二中学附属初级中学）