刘观福，余 聪

(中山大学 物理与天文学院，广东 珠海 519082)

在经典情况下，最重要的常微分方程是牛顿第二定律的方程.在量子情况下，最重要的方程的是薛定谔方程.除了一些比较的简单的情况，这两个常微分方程通常难以找到解析解的，必须用数值解法，通过数值解来分析.一般情况下，牛顿第二定律的方程和薛定谔方程在数值解法上是有区别的.从已知的条件来说，对于经典情况的物体，它的初始位置、初始速度以及各处的加速度是明确的，解它对应的牛顿第二定律方程是一个初值问题；而对量子情况下的粒子，一般只明确它在边界上的概率幅函数的值，对应的薛定谔方程是一个边值问题.从最终数值解法的结果来说，牛顿第二定律方程一般只有一个解，薛定谔方程往往有无数个解.

1 打靶法和松弛法的区别

常微分方程的数值解法的思想是将微分方程改写成有限差分方程[1-8].打靶法和松弛法都是采用了这一思想.它们的区别在于如何去处理边界条件.物理中很常见的情况是知道初始点和终点的函数值，对于一维无限深势阱情况下的概率幅函数，在两个边界上的概率幅函数值是0[2].打靶法的基础是龙格库塔方法，需要得到一个边界点上的函数值和函数的导数值.在导数值不知道的情况下，采取的解决办法是在一定范围内猜测导数值，从初始位置边界点开始计算，计算到终止位置边界点，然后比较终止位置边……