于凤军, 汤振杰，田俊龙，张希威

(安阳师范学院 物理与电气工程学院，河南 安阳 455000)

1 一般情况下的弹性势能密度

一般情况下, 应变和应力都用张量[2]描述, 在直角坐标系Oxyz中, 设应变张量的各分量为exx,exy,exz,eyx=exy,eyy,eyz,ezx=exz,ezy=eyz,ezz; 应力张量的各分量为:σxx,σxy,σxz,σyx=σxy,σyy,σyz,σzx=σxz,σzy=σyz,σzz. 由文献[2]式(12.5-3)可知, 当应变张量的各分量改变δeij(i,j=x,y,z)时，应变能密度w的增量为

δw=σxxδexx+σyyδeyy+σzzδezz+

2σxyδexy+2σyzδeyz+2σzxδezx

(1)

文献[2]式(12.6-7)给出各向同性的均匀弹性体的胡克定律：

(2)

(3)

由于本文所研究的系统不可压缩, 即无体积膨胀, 故上式中的相对体膨胀为

θ′=exx+eyy+ezz=0

(4)

对于球体, 取球坐标系(r,θ,φ)更方便, 应变张量的分量为err,erθ,erφ,eθr=erθ,eθθ,eθφ,eφr=erφ,eφθ=eθφ,eφφ.考虑式(4), 将式(3)变换到球坐标系, 得弹性势能密度

(5)

当应变张量eij(i,j=r,θ,φ)已知时，通过上式在球内进行积分，就可得到弹性势能.

2 弹性球的形变描述

图1 弹性球形变为长旋转椭球

(x2+y2)/b2+z2/a2=1

(6)

将x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosθ代入上式得

(7)

由于e<<1，将上式展开, 仅保e的最低次项

(8)

上式是椭球表面在球坐标系中的方程, 其中P2(cosθ)是勒让德函数.

当弹性球表面形变为椭球表面时, 其体内每一点将离开原来的位置产生微小位移. 设点(r,θ,φ)处质点的位移为

S(r,θ,φ)=Srer+Sθeθ+Sφeφ

(9)

其中,er,eθ,eφ分别是径向、经线切向、纬线切向的单位向量,Sr、Sθ、Sφ分别是位移沿er,eθ,eφ方向的分量，它们都是点的坐标(r,θ,φ)的函数. 根据文献[3]式(13.5.14)知, 应变张量分量与位移分量的关系为

(10)

式(8)、式(9)、式(10)构成对弹性球形变的描述. 如果知道位移分量Sr、Sθ、Sφ的具体函数式, 则通过式(10)可以确定应变张量，再由式(5)和体积分计算, 求弹性势能.

3 位移分量Sr、Sθ、Sφ函数式的确定

由于弹性球沿z方向拉长为长旋转椭球, z方向处于er、eθ构成的平面内, 故体内各质点的位移可能有er、eθ方向的分量, 不可能有eφ方向……