管训贵

（泰州学院数理学院，江苏泰州225300）

1 序言及主要结论

设D、Q为给定的正整数，且D为非平方数，N（D，Q）表示方程

的正整数解的个数.

几十年前，Ljunggren［1-2］用p-adic方法，通过特殊技巧，证明了N（2，1）＝2，且（1）式有正整数解（X，Y）＝（1，1），（239，13）以及N（5，4）＝1.

最近，Stoll等［3］证明了N（22m+1，22m）≤3，文献［4-5］分别证明了N（a2+1，2a）≤3，N（a2+p2n，p2n）≤2（a、n为正整数，p为奇素数，gcd（a，p）＝1，且使方程x2-Dy2＝-1有一组整数解），N（a2+4p2n，4p2n）≤2（a、n为正整数，p为素数，gcd（a，2p）＝1，且使方程x2-Dy2＝-1有一组整数解，而方程u2-Dv2＝4无互素的整数解）；管训贵［6-8］分别证明了N（a2+1，4a-3）≤5，N（a2+1，6a-8）≤4，以及N（a2+1，12a-35）≤4.

本文将文献［6-8］和文献［4］的结果加以推广，得到更一般的结论.

定理 若a、k为正整数，满足a＞1 270k4，k≥4，则方程

除（X，Y）＝（a-k，1），以及4a2-2ka+1和2ka+1为平方数外，最多只有2组互素的正整数解（X，Y）.

作为定理的应用，有如下结论.

推论 设a为正整数，对于方程

（i）当a＝1时，仅有正整数解（X，Y）＝（3，1），（13，3）；

（ii）当a＝2时，仅有正整数解（X，Y）＝（2，1）；

（iii）当a＝3时，仅有2组互素的正整数解（X，Y）＝（1，1）和（79，5）；

（iv）当a＝4时，无正整数解（X，Y）；

（v）当a≥5时，若8a+1非平方数，则除（X，Y）＝（a-4，1）外，最多还有2组互素的正整数解（X，Y）；若8a+1为平方数，则除（X，Y）＝（a-4，1）和（8a2+a+4，（8a+1）1／2）外，最多还有2组互素的正整数解（X，Y）.

2 预备知识和引理

设α、β和γ为复数，且γ≠0或负整数.超几何函数F（α，β，γ，z）定义为复变量z的幂级数，即

令Y（ω）＝F（-5／4，-1，3／4，ω），X（ω）＝ωY（ω-1），并用Ln表示X（ω）和Y（ω）的系数的最小公分母，Hn表示

的系数分子的最大公因数.若A和B为非零整数，D为正整数，满足

则A4和B4显然为域上的代数整数.又令

且C1和f为实数，满足0＜C1＜1.25，以及

假定η、p和q为中的非零代数整数，且使得η∈｛±1，±i｝，以及

那么由（4）和（5）式及ω2＜1得定义r0为满足的正整数.于是得出引理1.

引理1设η、p和中的非零代数整数，有：

（ii）若η＝±1，则

（iii）若r0＝1，且η-1qB4≠pA4，η＝±1，则

（iv）若r0＝1，且ηqB4＝pA4，η∈｛±1，±i｝，则

证明（i）由Y（w）＝F（-5／4，-1，3／4，w）＝1+5w／3，X（w）＝wY1（w-1）＝5／3+w，L4＝3以及H4＝8知

（ii）、（iii）和（iv）的证明参见文献［5］的引理2.3.

借助文献［6］中的引理2.4和引理2.5，可证下列引理.

引理2设k为正整数，a≥8.5k2为整数……