米小平， 蒲志林， 赵夕雅

（四川师范大学 数学科学学院，四川成都610066）

1 预备知识

设Ω⊂R2是一个具有光滑边界∂Ω的区域，考虑如下的Kirchhoff热弹性薄板方程

其中，x∈Ω，t∈R+＝（0，∞）.

根据方程的物理背景，考虑如下边界条件

及初始数据

其中，c≥0，函数u0，v0，ϑ0：Ω→R和ψ：Ω×R+→R是给定的函数，未知函数u表示板的垂直位移，而ϑ表示平衡参考值的温度变化场.为简便起见，把所有其他物理常数设为1.实际上，在文献［1-2］最早提出的原始模型中，c＞0.Fabrizio等［3］考虑了c＝0的情况.

已广泛研究热传导方程中没有记忆效应的线性热弹性板［4］.在热通量的傅立叶定律被Gurtin-Pipkin定律取代后，就产生了出现在第一个方程中的卷积项.Giorgi等［1］考虑了解的衰减问题.本文在对记忆核进行非常弱的假设下，根据Hilbert空间上的c0半群，并利用抽象半群理论［4］，证明指数稳定性.与我们的模型相比，主要区别是第二个方程中存在一个耗散项，这是因为除了热通量之外，热功率还依赖ϑ的过去历史.

2 记号和假设

设H是Hilbert空间，分别用〈·，·〉H和‖·‖H表示H上的内积和范数，当H＝L2（Ω）时省略下标，固定c≥0.给出定义在L2（Ω）上的正定算子A＝-Δ和B＝cI-Δ，定义域D（A）＝D（B）＝对r∈R，引入Hilbert空间Hr＝D（Ar／2），赋予通常的内积显然，当r1＞r2时为紧嵌入，它在Hr上与〈Br／2·，Br／2·〉为等价内积.

令μ（s）＝-κ′（s），μ（s）满足以下条件：

注意（7）式意味着μ不等于零.令σ∞＝sup｛s｜μ（s）＞0｝，也可能σ∞＝∞，对于每一个σ＜σ∞，通过（4）-（6）式存在一个集合Oσ⊂（σ，σ∞）具有正的Lebesgue测度，使得

通过（4）和（5）式，对于r∈R，给出加权Hilbert空间

在M1中引入线性算子T：

这里ηs是η关于s的偏导数，算子T是C0压缩半群的无穷小的生成元，特别有

最后定义Hilbert空间

为了后文的需要，对空间Mr的紧致性做一个简单的介……