雷 婷， 陈光淦

（四川师范大学数学科学学院可视化计算与虚拟现实四川省重点实验室，四川成都610068）

随机偏微分方程在物理、化学等应用学科中具有重要的意义.例如，确定性的Cahn-Hilliard方程描述了材料科学中某些重要的定性特征［1-2］，随机增长模型［3-4］模拟了粗糙非晶体曲面，以及随机Kuramoto-Sivashinsky模型［5-6］刻画了地表侵蚀问题.这些模型都满足本文研究的抽象形式.

本文关心一类含退化噪声的随机偏微分方程

其中算子A、L、B以及扰动参数ε和噪声W的定义详见第一节.

对于方程（1），不同的噪声强度和扰动强度影响着系统最终有效行为.Blömker等研究了随机偏微分方程在扰动强度为0，噪声强度为ε-1［7］；扰动强度为0，噪声强度为情形下的有效行为.本文主要目的是推导出方程（1）的有效逼近系统——振幅方程，给出振幅方程的具体形式以及解逼近的收敛刻画.

1 预备知识

让H表示Hilbert空间，其内积和范数可表示为＜·，·＞和‖·‖.

假设1设A是H空间上自伴随的非正算子，其特征值的相反数满足0≤λ1≤λ2≤…≤λk≤…，并且对所有足够大的k，有λk≥Ckm成立.是特征向量对应的完备正交系，并且Aek＝-λkek.

令N：＝kerA，T：＝N⊥是N在空间H的正交补集，并且Pc：H→N，Ps：＝I-Pc.Ps和Pc与算子A可交换.假设N的维数为n，基为｛e1，e2，…，en｝.任给α∈R，则为H空间上的完备正交基.算子Dα为Dαek＝kαek，所以有‖u‖α＝‖Dαu‖成立.

注记2由假设1定义的算子A生成解析半群｛etA｝t≥0，进一步

引理3［9］在假设1条件下，存在常数M＞0和K＞0，对任意的t＞0，β≤α和任意的u∈Hβ，满足

假设4（算子L） 固定α∈R，当β∈［0，m），则L：Hα→Hα-β为连续线性映射.一般而言，算子L不与Ps和Pc交换.

假设5（双线性算子B） 设α、β是假设4中的参数，B是从Hα×Hα到Hα-β的有界双线性映……