王智峰 陈传军 孙丰云

【摘要】针对牙膏销售量问题，本文改进了回归分析模型，建立了微分方程模型进行销售量的预测，最后给出了灵敏度分析和稳定性分析.

【关键词】牙膏销售量;微分方程模型;回归分析模型

【基金项目】高等学校大学数学教学研究与发展中心资助（No.CMC20190408），烟台大学教学改革研究项目资助（No.jyxm2019041），山东省高等教育本科教改项目（No.Z2018S049）

一、引 言

在姜启源、谢金星、叶俊编著的《数学建模》（第4版）[1]的第十章中，提出了牙膏销售量问题.已知的数据包括三部分：某厂家的价格与其他厂家的价格差，广告投入，牙膏销售量.问题要求建立预测牙膏销售量的数学模型.书中针对已知数据进行分析，如图1，图2所示，销售量和价格差呈线性关系，销售量与广告费用呈二次函数关系.

基于以上的数据分析，书中建立了销售量y与价格差x1、广告费用x2之间的多元线性回归分析模型为：

y=β0+β1x1+β2x2+β3x22+ε.（1）

其中βi，i=0，…，3是回归系数.

利用数学软件MATLAB[2]或SPSS[3]，结合已有的数据可以估计出回归系数，得到预测销售量的回归分析模型为：

y=17.3+1.3x1-3.7x2+0.3x22.（2）

分析模型（2）可知：随着x2增大，销售量y会越来越大.当x2趋于无穷时，销售量y也趋于无穷.这个显然不符合实际情况，因为销售量会受市场影响，最终会达到市场饱和状态，而不会趋于无穷.

二、模型改进

随着广告费用x2的增加，销售量y会达到市场饱和量，这个变化趋势与人口预测问题中的阻滞增长模型相似，因此，我们使用微分方程模型来研究这个问题.

以广告费用x2为自变量，价格……