苏 琳， 雒志学

(兰州交通大学 数理学院，甘肃 兰州 730070)

由于人类大规模开采和不合理利用自然资源,生态环境遭到了严重破坏.环境污染不仅导致生物多样性大量减少,而且使得环境丧失自我修复能力,造成生态失衡.例如，过度排污导致赤潮,过度捕杀致使多种生物灭绝等.因此研究污染环境下的生物种群系统对种群演化和资源开发等具有重大意义.同时,分数布朗运动(Fractional Brownian Motion)作为随机分析领域描述一系列复杂过程的工具,能够真实准确地反映许多自然现象和社会现象的特性,所以利用分数布朗运动模拟污染环境下一类非线性随机种群系统更符合现实需求.

1968年,Benoit Mandelbro和Van Ness在文献[1]中提出了一种更加精准的分数布朗运动模型,给出了其定义及应用.文献[2]讨论了具有任意Hurst参数0

由上述参考文献可知,文献[6—7]没有考虑随机因素对种群系统的影响,文献[9]研究的是污染环境下的随机单种群模型.目前,研究污染环境下具有年龄结构和环境随机扰动的单种群系统的文献较多,本文把单种群拓展为两种群,计划建立一类污染环境下带有分数布朗运动和年龄结构的非线性随机两种群系统,并讨论该系统非负解的存在唯一性以及最优控制的存在性问题.

1 模型的建立

对于种群系统,大量文献只针对确定系统进行研究,文献[6]讨论了一类污染环境下与年龄相关的竞争种群系统的最优控制问题,并未考虑外界环境噪声对种群系统的影响.事实上,温度、湿度、环境污染、人为的破坏等系统之外的因素都会对种群系统产生影响,且能够改变系统动力学行为,使得一个稳定的系统出现震荡现象.因此,把随机噪声引入种群系统(随机噪声均为布朗运动),更加真实准确地反映了生物体在自然环境下的生存状态.文献[7]研究了污染环境下三竞争种群模型的最优收获问题,将种群的收获率考虑在内.基于此,我们综合考虑种群年龄、时间、毒素浓度以及种群密度制约对死亡率和出生率的影响,建立一类污染环境下基于分数布朗运动和年龄结构的非线性随机两种群系统.文中考虑的分数布朗运动是关于时间t和Hurst参数H的函数,其模型如下:

本文采用如下基本假设:

0≤βi(a,t,ci0(t),Xi)≤β0,β0为常数,(a,t)∈D.

(H4)(局部Lipschitz条件) 存在常数Lβ,Lμ>0,∀si∈R+,i=1,2,满足

定义2[11]具有Hurst参数H(0

(ⅰ)BH(0)=0;

(ⅱ)对任意t≥0,BH(t)是随机变量且E[BH(t)]=0;

(ⅲ)对任意ρ>0,若BH(ρt)=ρHBH(t),则得到协方差:

E[BH(t)BH(s)]=

证明参考文献[6]中定理2.1,易证结论成立.

2 系统解的存在唯一性

定理1若假设(H1)～(H2)成立,则系统(1)存在唯一的非负解(x1(a,t),x2(a,t)),c10(t),c20(t),ce(t))∈[L∞(D)]2×[L∞[0,T]]3.

证明系统(1)中的ci0(t)和ce(t)能精确地给出.因此只需要考虑如下系统:

(3)

(xhi1,xhi2)=(xi1,xi2),σ=(σ1,σ2)=Λ1h1-Λ1h2,则σ是下列系统的解:

给该系统的第一,二式分别乘以σ1,σ2,并在(0,A)×(0,T)上积分得

其中K>0,是关于β,μ,c0和X的一个Lipschitz常数.

可以得到

综上所述,映射Λ1为一压缩映射,由Banach不动点定理可知系统有唯一的不动点.

3 最优控制问题的存在性

下面讨论一类污染环境下具有年龄结构和分数布朗运动的非线性随机两种群系统最优收获控制的存在性问题，由于生物体内的毒素浓度ci0(t)和环境中的毒素浓度ce(t)可以通过常微分方程的常数变易法求解.所以，我们寻找最优收获控制(u*,υ*)∈U使得

控制集定义为

U={(u,υ)∈(L∞(D))2|0≤u(a,t)≤N1,

0≤υ(a,t)≤N2,D=(0,A)×[0,T]}.

B2υ2(a,t))]dadt}，

其中:K1(a),K2(a)分别为2个种群的销售价格;B1,B2是权重.

定义3[13]假设随机过程(p1,p2,q1,q2,r)∈[L∞(D)]2×[L∞(0,T)]3满足下列系统:

则称随机变量(p1,p2,q1,q2,r)为伴随方程的解.

相应的Hamiltonian函数H为

H(t,a,x1,x2,u,υ,p1,p2,q1,q2)=

K1(a)u(a,t)x1(a,t)+K2(a)υ(a,t)x2(a,t)-

p1(a,t){-μ1(a,t,c10(t),X1)x1-

u(a,t)x1-x1c1(a,t)X2}+

p2(a,t){-μ2(a,t,c20(t),X2)x2-

υ(a,t)x2-x2c2(a,t)X1}+

p1(0,t)β1(a,t,c10(t),X1)x1(a,t)+

p2(0,t)β2(a,t,c20(t),X2)x2(a,t)+

q1g1(a,t,x1,u)+q2g2(a,t,x2,υ).

下面主要根据随机微分方程给出的带分数Brown运动的It公式证明下面的主要结论.

d(p1x1+p2x2)=

x1dp1+x2dp2+p1dx1+p2dx2=

x1{[μ1(a,t,c10(t),X1)p1+u(a,t)p1+

p1c1(a,t)X2-q1(g1)x1-

β1(a,t,c10(t),X1)p1(0,t)-

K1(a)u(a,t)]dt+q1dBH}+

x2{[μ2(a,t,c20(t),X2)p2+υ(a,t)p2+

p2c2(a,t)X1-q2(g2)x2-

β2(a,t,c20(t),X2)p2(0,t)-

K2(a)υ(a,t)]dt+q2dBH}+

p1{[-μ1(a,t,c10(t),X1)x1-u(a,t)x1-

x1c1(a,t)X2]dt+g1(a,t,x1,u)dBH}+

p2{[-μ2(a,t,c20(t),X2)x2-υ(a,t)x2-

x2c2(a,t)X1]dt+g2(a,t,x2,υ)dBH}+

{[μ1(a,t,c10(t),X1)p1+up1+

p1c1(a,t)X2-q1(g1)x1-

β1(a,t,c10(t),X1)p1(0,t)-

K1(a)u(a,t)]dt+q1dBH}×

{[-μ1(a,t,c10(t),X1)x1-ux1-

x1c1(a,t)X2]dt+g1(a,t,x1,u)dBH}+

{[μ2(a,t,c20(t),X2)p2+υp2+

p2c2(a,t)X1-q2(g2)x2-

β2(a,t,c20(t),X2)p2(0,t)-

K2(a)υ(a,t)]dt+q2dBH}×

{[-μ2(a,t,c20(t),X2)x2-

υx2-x2c2(a,t)X1]dt+g2(a,t,x2,υ)dBH}=

{x1[μ1(a,t,c10(t),X1)p1+up1+

p1c1(a,t)X2-q1(g1)x1-

β1(a,t,c10(t),X1)p1(0,t)-K1(a)u]+

x2[μ2(a,t,c20(t),X2)p2+υp2+

p2c2(a,t)X1-q2(g2)x2-

β2(a,t,c20(t),X2)p2(0,t)-K2(a)υ]+

p1[-μ1(a,t,c10(t),X1)x1-u(a,t)x1]+

p2[-μ2(a,t,c20(t),X2)x2-υ(a,t)x2]}dt+

[q1g1(a,t,x1,u)+q2g2(a,t,x2,υ)](dt)2H+

[x1q1+x2q2+p1g1(a,t,x1,u)+

p2g2(a,t,x2,υ)]dBH={x1[-q1(g1)x1-

β1(a,t,c10(t),X1)p1(0,t)-

K1(a)u(a,t)]+x2[-q2(g2)x2-

β2(a,t,c20(t),X2)p2(0,t)-

K2(a)υ(a,t)]}dt+[q1g1(a,t,x1,u)+

q2g2(a,t,x2,υ)](dt)2H+[x1q1+x2q2+

p1g1(a,t,x1,u)+p2g2(a,t,x2,υ)]dBH.

根据文献[14]易知

再引用Maruyama记法[15],有dBH(t)=B(t)(dt)H.因此,有

β1(a,s,c10(s),X1)p1(0,s)-

K1(a)u(a,s)]+x2[-q2(g2)x2-

β2(a,s,c20(s),X2)p2(0,s)-

q2g2(a,s,x2,υ)](ds)2H+

β1(a,s,c10(s),X1)p1(0,s)-

K1(a)u(a,s)]+x2[-q2(g2)x2-

β2(a,s,c20(s),X2)p2(0,s)-K2(a)υ(a,s)]+

2H(t-s)2H-1[q1g1(a,s,x1,u)+

p1g1(a,s,x1,u)+p2g2(a,s,x2,υ)]dBH.

令

x1β1(a,s,c10(s),X1)p1(0,s)-

x1K1(a)u(a,s)-x2q2(g2)x2-

x2β2(a,s,c20(s),X2)p2(0,s)-

x2K2(a)υ(a,s)+2H(t-s)2H-1

[q1g1(a,s,x1,u)+q2g2(a,s,x1,υ)]}ds，

p1g1(a,s,x1,u)+p2g2(a,s,x2,υ)]dBH，

则Mt=(p1)0(x1)0+(p2)0(x2)0+Nt.

K2(a)υ(a,t)x2(a,t)+

x1(a,t)β1(a,t,c10(t),X1)p1(0,t)+x2q2(g2)x2+

x2(a,t)β2(a,t,c20(t),X2)p2(0,t)-2H(t-s)2H-1

[q1g1(a,t,x1,u)+q2g2(a,t,x2,υ)].

根据文献[16]知(u*,υ*)∈U为问题(4)最优控制的充分条件是对任意的(u,υ)∈U下式成立：

J′(u*)(u-u*)+J′(υ*)(υ-υ*)=

2H(t-s)2H-1(q1g1(a,s,x1,u)+

2H(t-s)2H-1(q1g1(a,s,x1,u)+

从而

2H(t-s)2H-1q1(g1)u)(u-u*)+

-[J′(u*)(u-u*)+J′(υ*)(υ-υ*)]+

2H(t-s)2H-1q1g1(a,s,x1,u)-x2K2(a)υ+

-[J′(u*)(u-u*)+J′(υ*)(υ-υ*)]-

J′(u*)(u-u*)+J′(υ*)(υ-υ*)≥0.

4 结论

本文研究了一类污染环境下基于分数布朗运动和年龄结构的非线性随机两种群系统,证明了种群系统存在唯一的非负解和最优控制存在的必要条件.研究发现,当系统环境中的毒素输入率v(t)为恒定函数时,系统存在唯一解.由于种群系统受到外部环境的影响,把随机扰动因素考虑在模型中显然更加符合实际情况.本文将分数布朗运动引入非线性随机种群系统,同时还考虑了污染环境下生物体内毒素浓度和环境中毒素浓度对生物个体的影响,更加真实准确地反映了生物体的生存状态,因此研究该系统具有一定的现实意义.