何 琴， 王 谦

(兰州交通大学 数理学院,甘肃 兰州 730070)

偏微分方程是纯粹数学和应用数学的一个重要分支，它是描述物理过程、系统状态、社会与生物现象的有力工具．正问题是根据方程的定解条件求定解问题的解，而反问题[1—4]是由部分已知信息求定解问题的某些未知量,即正问题与反问题是相互依存、相互决定的．由于反问题是不适定的，需要用一些稳定的方法[5—7]来解决，其中Tikhonov正则化方法是最常用的方法之一．在本文中，我们利用Tikhonov正则化方法，通过附加简单的源条件，获得了正则化解的收敛速度．近年来，许多科学家致力于研究椭圆型方程系数反问题[8—10]，而关于正则化解的收敛速度的研究(文献[11—13])则相对较少．本文研究了具齐次边界Dirichlet椭圆方程的系数识别问题，陈述如下：

问题考虑如下椭圆型方程系数识别问题

-a(x)Δu+c(x)u=finΩ，

(1)

u=0 on ∂Ω，

(2)

其中区域Ω⊂Rd,d≥1，c是未知系数，我们希望利用u在Ω上的观测值来反演c．利用能量泛函和Tikhonov正则化方法，可获得正则化解的收敛速度．通过多次验证，我们构造如下泛函：

其中：ρ>0是正则化参数，c*是c的先验估计．

本文的主要贡献如下：首先,证明了最优化问题在容许集内有唯一解；其次，提出了形式上相对简单的源条件，进而证明了最优解的收敛性，并给出了收敛阶．

本文所讨论的系数识别问题可以转化为数值微分问题.但是当它转化为数值微分问题时，其精确值不能为零，观测值也不能保证不为零；观测值的Laplace算子可能趋于无穷大，使得问题是不适……