■四川省绵阳实验高级中学 黄 芹

立体几何是高中数学知识体系中的重要知识模块，也是高考重点考查的核心内容之一。空间向量是求解立体几何问题的一个重要工具，利用空间向量解答立体几何问题，主要突破“四关”：第一关，建系；第二关，求点的坐标；第三关，求法向量；第四关，应用公式。然而如何建立恰当的空间直角坐标系并求出点的坐标是用空间向量解决立体几何问题的关键所在。下面以典型的几何体：棱柱、棱锥、多面体为载体，以典型的问题情境设计：求线面角、求二面角、探索性问题、翻折问题为背景，剖析建立空间直角坐标系的常用途径。

途径一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建空间直角坐标系

例1如图1，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=1，AA1=2，D 是侧棱AA1上的一点。

（1）证明：当D 是侧棱AA1的中点时，DC1⊥平面BCD。

图1

（2）侧棱AA1上是否存在一点D，使二面角D-BC1-C 的余弦值为若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由。

分析：（1）几何体中有三条直线两两垂直，直接建系。（2）空间向量非常适合于解决立体几何中的探索性问题，只需要建立恰当的空间直角坐标系，通过坐标运算把“是否存在”的问题转化为“点的坐标是否有解”的问题。

解：（1）证法一：由题意BC⊥AC 且BC⊥CC1，AC ∩CC1=C，所以BC ⊥平面ACC1A1。

又因为DC1⊂平面ACC1A，所以BC⊥DC1。

又因为D 是AA1的中点，AC=AD，且∠CAD=90°，所以∠ADC=45°。

同理，∠A1DC1=45°。

所以∠C1DC=90°，则DC1⊥DC。

又因为DC∩BC=C，所以DC1⊥平面BCD。

证法二：如图2，以C为坐 标 原 点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系C-xyz。

由题意知C（0，0，0），D（1，0，1），B（0，1，0），C1（0，0，2），所以

图2

所以DC1⊥CD，DC1⊥CB。

又CD∩CB=C，所以DC1⊥平面BCD。

（2）假设侧棱AA1上存在一点D 满足题意。……