■四川省绵阳实验高级中学 邓钧方

立体几何作为综合考查同学们的直观想象、逻辑推理、数学运算和数学抽象等核心素养的重要载体，是高考数学必考内容。近年来，随着新课改的推进，命题原则逐渐从“以能力立意”转向“以素养立意”，试题正在尝试增加难度，提高能力要求。尽管如此，立体几何试题的相对难度仍属中等，是考生必争之分。

我们知道，空间想象是从研究对象或问题中抽取出数量关系或空间形式，对图形的想象主要包括有图想象和无图想象两种，是空间想象能力高层次的标志。图形作为数学表达的语言，与文字语言、符号语言配合表达数学，图形语言在直观呈现问题、数形结合解答问题、辅助空间想象问题等方面都发挥了不可替代的作用。

一、陌图化熟换视位

我们在课本中见到的柱、锥、台、球，其图形基本上都遵循斜二测规则，但在选拔性考试中，根据数学核心素养考查的需要，给出全新视角下几何体的直观图。当我们感到图形很陌生时，可以改变角度重新画一个自己熟悉的图形，这样可以快速入题。

例1（2020年浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟三模）如图1，已知四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AB=2，PA=PB=BC =，PD=PC=。

图1

（1）求证：平面PAB⊥平面PCD；

（2）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值。

解析：（1）我们换一个视角画出一个熟悉的直观图。如图2，取AB，DC 的中点E，F，连接EF，PE，PF。

又AB ∥CD，所 以PE⊥CD。

又因为AB=2，所以PE=3，PF=1，所以PE2+PF2=10=BC2=EF2，即PE⊥PF。

因为CD ∩PF=F，CD ⊂平面PCD，PF⊂平面PCD，所以PE⊥平面PCD。

因为PE⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD。

（2）设点A 到平面PBC 的距离为d。

图2

由（1）知PE⊥PF，PF⊥DC。

又AB∥CD，所以PF⊥AB。

因为AB ∩PE=E，AB ⊂平面PAB，PE⊂平面PAB，所以PF⊥平面PAB。……