■安徽省利辛高级中学 胡 彬

1.（2020 年龙岩模拟）如图1，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD，在四边形ABCD 中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，CD =，AD=2，PA=4。

（1）证 明：CD ⊥平面PAD；

图1

（2）求二面角B-PC-D 的余弦值。

2.（2020 年江西模拟）如图2，在三棱锥P-ABC 中，平面PAC⊥平面ABC，∠BAC=90°，∠ACP=30°，且AC=12，AB=AP=6。

图2

（1）若D 为BP 上的一个动点，求证：PC⊥AD；

（2）若CE=2EP，求二面角A-EB-C 的平面角的余弦值。

3.（2020 年郑州模拟）如图3，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将△ACD 折起，使得点D 在平面ABC 内的射影恰好落在边AB 上。

（1）求证：平面ABD⊥平面BCD；

4.（2020年龙岩模拟）如图4，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，∠ADC=∠BCD=90°，BC=1，PD=AD=2DC=2，∠PDA=60°，且平面PAD⊥平面ABCD。

（1）求证：BD⊥PC。

（2）在线段PA 上是否存在一点M，使二面角M-BC-D的大小为30°? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

图4

5.（2020 年宿迁模拟）如图5，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，设AD=1，DD1=3，点P 在CC1上，且C1P=2PC。

（1）求直线A1P 与平面PDB 所成角的正弦值；

（2）求二面角A-BD-P 的余弦值。

图5

6.（2020 年泉州模拟）如图6，已知四棱锥P-ABCD 的底面为菱形，∠BAD =120°，AB=2。平面PCD ⊥平面ABCD，PC=PD，E，F分别是BC，PD 的中点。

（1）求证：EF∥平面PAB；

（2）若直线PB 与平面ABCD 所成的角为45°，求直线DE 与平面PBC 所成角的正弦值。

图6

7.（2020 年蚌埠模拟）如图7，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD ∥BC，AB ⊥AD，AD=AB=2BC，M 为A1D 的中点。

（1）证 明：CM ∥平面AA1B1B；

（2）若四边形AA1B1B 是菱形，且面AA1B1B⊥面ABCD，∠B1BA=60°，求二面角A1-CM-A 的余弦值。

图7

8.（2020 年安徽模拟）如图8，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAB为等腰直角三角形，BC⊥平面PAB，PA=PB，AB=BC=2，AD=BD

图8

（1）求证：PA⊥平面PBC；

（2）求直线PC 与平面PAD 所成角的正弦值。

9.（2020 年青岛模拟）如图9，在四棱锥E-ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，△BCE 是边长为2的等边三角形，AB=AE，F，O 分别为AB，BE 的中点，OF 是异面直线AB 和OC 的公垂线。

（1）证明：平面ABE⊥平面BCE；

（2）记△CDE 的重心为G，求直线AG与平面ABCD 所成角的正弦值。

图9

10.（2020年大连模拟）如图10，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C 为菱形，A 在侧面BB1C1C上的投影恰为B1C的中点O，E 为AB的中点。

图10

（1）证 明：OE∥平面ACC1A1。（2）若∠CBB1=60°，cos∠ACC1=在线段C1A1上是否存在点F（F 不与C1，A1重合）使得直线EF 与平面ACC1A1所成角的正弦值为若存在，求出的值；……