■江苏省无锡市洛社高级中学 翟荣俊

立体几何是高考的重要内容，而图形变换问题更是一类常考题型。图形变换，使得立体几何问题由“静态”转为“动态”，并在“动态”过程中生成新的问题加以考查同学们的空间想象能力和抽象思维能力，提升同学们的直观想象的数学素养。图形变换过程中，原图形中的部分几何元素的位置关系、数量关系发生了变化，因此，如何合理分析变换前后图形的关系，特别是抓住动态变换中的几何关系的不变性及相互关系，是解决这类问题的关键。近年来，立体几何中的图形变换问题也出现了一些新的变化。本文旨在通过对立体几何图形中的变换问题进行剖析，为2021 届高三数学立体几何复习提供一些参考。

视角一:平移无形变有形，优化运算显本领

例1（2020年浙江模拟）如图1，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且∠BAD=60°，在四边形ADEF 中，AF∥DE，∠DAF = 90°，AD=DE=2AF=2，BE =2，M 为AB的中点。

图1

（1）证明：直线FM∥平面EAC；

（2）求直线BF与平面EAC 所成角的正弦值。

解 析：（1）如图2，过E 作EQ∥AD，与AF 的延长线交于点Q。因为AF∥DE，可知四边形ADEQ 为平行四边形，连接BD 交AC 于点S，连接DQ 交AE 于点R，连接RS，所以，MS∥AD。

图2

（2）取DE 的中点为N，连接CN，则BF∥CN。

连接BD 交AC 于点S，连接ES，因为DE2+BD2=BE2，所以BD⊥DE。

又因为AD ⊥DE，AD ∩BD=D，所以DE⊥平面ABCD。因为AC⊂平面ABCD，所以AC⊥DE。又因为AC⊥DB，BD ∩DE=D，所以AC⊥平面BDE。

所以平面BDE ⊥平面ACE，作DG ⊥SE 于点G，NH ⊥SE 于点H，则NH ⊥平面EAC，所以∠NCH 为直线CN 与平面EAC所成角，等于直线BF 与平面EAC 成角θ。

点评：本题是一道有一定难度的立体几何问题，空间向量在本题中使用并不方便，解题的关键在于掌握图形中的线面关系，通过平移变换，将线段AD 平移到QE，将线段BF 平移到CN，从而使得原来无形的线面角转化为了有形的∠NCH。……