■江苏省华罗庚中学 李普红

平行与垂直关系的证明是高考考查立体几何的高频考点，大部分问题都可以用传统的几何方法解决，有一部分问题需要建立空间直角坐标系利用空间向量解决。用传统法解题时，应注重线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等问题的性质定理和判定定理的灵活应用。用向量法解题时，应建立恰当的空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标。

考向一:证明线面平行

例1如图1，已知空间几何体BACDE 中，△BCD与△CDE 均是边长为2的等边三角形，△ABC 是腰长为3，底边为BC 的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD。

（1）试在平面BCD 内作一条直线，使得直线上任意一点F 与E 的连线EF 均与平面ABC 平行，并给出证明；

（2）求三棱锥E-ABC 的体积。

图1

解析：（1）如图2 所示，取DC 的中点为N，BD 的中点为M，连接 MN，则MN 即为所求。

连接EM，EN，取BC的中点H，连接AH。

因为△ABC 是腰长为3的等腰三角形，H 为BC 的中点，所以AH ⊥BC。

又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AH ⊂平面ABC，所以AH⊥平面BCD。

同理可证EN⊥平面BCD。

所以EN∥AH。

又M，N 分别为BD，DC 的中点，所以MN∥BC。

图2

又MN∩EN=N，MN⊂平面EMN，EN⊂平面EMN，所以平面EMN∥平面ABC。

又EF ⊂平面EMN，所以EF ∥平面ABC，即直线MN 上任意一点F 与E 的连线EF 均与平面ABC 平行。

（2）连接DH，取CH 的中点为G，连接NG，则NG∥DH。

由（1）可知EN∥平面ABC，所以点E 到平面ABC 的距离与点N 到平面ABC 的距离相等。

又△BCD 是边长为2的等边三角形，所以DH ⊥BC。

又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD =BC，DH ⊂平面BCD，所以DH ⊥平面ABC，所以NG⊥平面ABC。

考向二:证明面面平行

例2如图3，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，E，F分别为AD，AA1的中点，Q 是BC 上一个动点，且BQ=λQC（λ＞0）。

（1）当λ=1 时，求证：平面BEF∥平面A1DQ。

（2）试问：是否存在λ，使得BD⊥FQ? 若存在，请求出λ 的值；若不存在，请说明理由。……