（上海理工大学 理学院，上海 200093）

0 引言

厄米系统是保守的，不与外界发生能量交换且不具有增益和损耗。与之相反，非厄米系统具有增益或损耗，是开放边界条件的系统，其物理量通常用非厄米算符描述。非厄米算符的本征值一般是复数［1］，非厄米系统与厄米系统的一个明显区别是非厄米系统存在奇异点（Exceptional Point，EP）。在奇异点处，非厄米系统本征值和本征态同时发生简并合并。奇异点附近通常伴随着能级排斥、交叉、相位突变等异常光学现象，所以在单向无反射传输、损耗诱导透明、微型激光器、超灵敏传感等领域具有十分重要的应用［2-8］。奇异点概念最先由Kato［9］提出，研究人员通常使用两个耦合的谐振单元构建并研究二态非厄米系统，从立体微波腔、耦合电子电路系统，再到光学腔、原子腔等［10-15］。在此基础上，Ding 等［16］利用四阶哈密顿矩阵分析4 个耦合声学微腔组成的四态非厄米系统；程时航等［17］利用矩阵本征值研究四态微环耦合系统；Hossein 等［18］利用三阶矩阵研究光学微环组成的高阶非厄米系统。然而利用耦合模理论研究高阶非厄米系统的工作仍然较少。本文在二态系统的耦合模理论基础上［19-21］，将耦合模理论推广至四态非厄米系统，从理论上分析四态系统的传输系数。在CST 仿真软件中设计双开口谐振环，以4 个双开口谐振环组成四态非厄米系统。利用时域有限差分法模拟此系统的传输系数，结果表明仿真与理论分析吻合。

1 模型设计与分析

构建如图1 所示四态非厄米系统，此系统含有4 个谐振单元：A，B，C，D。其中直接与入射波（光）耦合的“亮态”谐振单元由Port j 入射，j=1.2）、“暗态”谐振单元（不能直接被入射波（光）激励，而是与谐振单元耦合）为一组，具有相同的谐振频率ω1，组内耦合系数为K。同理为一组，具有相同的谐振频率ω2，组内耦合系数也为K。两组谐振单元之间引入组间耦合系数t'。之间没有近场耦合。

Fig.1 Four state non Hermitian system model图1 四态非厄米系统模型

四态非厄米系统四端口相干激励时，基于耦合模理论的运动方程表示如下：

Γa，Γb，Γc，Γd分别是谐振单元A，B，C，D 的耗散损耗，γa，γc分别是“亮态”谐振单元A，C 的散射损耗。其中。式（1）中，第一项表示“亮态”A 在散射损耗γa、耗散损耗Γa下的谐振，ω1为“亮态”原子的中心频率；第二项表示“亮态”A 和“暗态”B 原子间的组内耦合；第三项表示“亮态”A 和“暗态”D 间的组间耦合；第四项表示“亮态”A 与入射波（光）的耦合。式（3）同理。式（2）中，第一项表示“暗态”原子在耗散损耗Γb下的谐振，ω1为谐振环的本征频率；第二项表示“暗态”B 与“亮态”A 间的组内耦合；第三项表示“亮态”C和“暗态”B 间的组间耦合。由于“暗态”原子无法与入射波（光）直接耦合，因此没有第四项，式（4）同理。

当入射波只从Port1 入射时，方程如下：

其中

四态非厄米系统的传输系数如下：

2 仿真实验及结果

为验证以上理论分析的正确性，利用时域有限差分法仿真分析四态非厄米系统。图2 给出四态非厄米系统的仿真结构，在谐振环开口处加载电子元器件如电容、电阻。控制谐振环的共振频率ω1与耗散损耗Γ、谐振环之间的距离决定组内耦合强度K和组间耦合强度t'。上述参数确定方法如下：通过电磁场仿真软件CST 得到单个谐振环的本征频率以及损耗特性；然后加入暗态谐振环构成耦合的二态非厄米系统实验，研究原子间的耦合强度特性。

图2 中含有4 个双开口谐振环和上下两个微带线。双开口谐振环尺寸大小为13.2 mm*7.8 mm，铜线宽0.8 mm，谐振环上端宽度为4.04 mm，两侧设计为45°斜线，可与相邻谐振环进行耦合。上下微带线宽度为2.4 mm，谐振环与微带线距离为0.2 mm。基板材料为聚四氟乙烯，相对介电常数εr=2.2，基板厚度为0.787 mm，双面覆铜。每个开口谐振环上都加载一个电容与一个电阻。使用CST 仿真可得到单个谐振环上加载不同电容值时的本征频率ω1，如图3 所示。环上加载的电容大小决定谐振环本征频率。在单个谐振环上加载不同电阻时的反射谱如图4 所示。电阻越大，反射率峰值越低，反射率的半高宽越大，即损耗越大。电阻值与损耗进行线性拟合得到“亮态”谐振环的耗散损耗Γ=0.014 5*R GHz，散射损耗γ=0.013 6 GHz。其中R为开口环加载的电阻大小。

Fig.2 State the Hermitian system structure图2 四态非厄米系统结构

Fig.3 Different load capacitance in the resonant ring reflection spectrum图3 在谐振环上加载不同电容的反射谱

Fig.4 On resonant ring loading the reflection spectrum of different resistance图4 在谐振环上加载不同电阻的反射谱

在计算耦合强度时需引入“暗态”谐振单元，由两个开口谐振环组建二态系统。使用CST 仿真软件计算加载相同电容值1.2 pf 的二态系统反射谱线，结果如图5 所示。其中耦合强度等于反射谱峰值频率差的二分之一，随环间距s 从0.6 mm 减小至0 mm，反射谱线的两个峰间距增大，即耦合强度增大。

使用CST 电磁仿真软件，计算加载1.2 pf 电容的开口谐振环四态非厄米系统加载电阻为1 Ω 时的传输谱线，如图6 所示。前述计算可得四态非厄米系统中的各种参数，4 个谐振环都加载1.2 pf 电容时，谐振环本征频率ω1=1.24 GHz，加载电阻为1 Ω 时，耗散损耗Γ=0.014 5 GHz和散射损耗γ=0.013 6 GHz。四态系统组内间距为0.2 mm，组间间距为0.4 mm 时，组内耦合强度K=0.045 GHz，组间耦合强度t'=0.025 GHz，将各类参数带入耦合模方程得非厄米系统的S 参数及实部虚部，如图7 所示。对比CST 仿真数据图6 和数值模拟图7（c），结果基本一致。

Fig.5 Binary system under the different spacing of reflection spectrum图5 二态系统不同间距下的反射谱

Fig.6 CST simulation of four state system transmission line图6 CST 仿真的四态系统传输谱线

Fig.7 The numerical simulation图7 数值模拟

3 结语

本文基于CST 仿真软件设计并仿真了四态非厄米系统，研究了系统中谐振频率为1.24GHz 的谐振单元损耗与耦合强度，并分析了四态非厄米系统耦合机制，利用耦合模理论计算了系统传输系数。仿真结果和数值计算一致，验证了耦合模理论处理四态非厄米系统问题的可行性。本文的四态耦合模理论可以用于分析光子晶体系统、光纤微环系统等不同频段的四态非厄米系统。同时在仿真中发现随着加载电容的变化，谐振环损耗有误差，后期可通过拟合减少误差。