白天宇，刘 军，许志明，唐文俏

(上海电机学院电气学院，上海 201306)

0 引言

永磁同步电机(permanent magnet synchronous motor，PMSM)具有功率密度高，转子损耗小等优点，被应用于各个领域。要对永磁同步电机实施高性能控制，那么精准的转子位置和转速信息的获取变得至关重要。由于机械传感器会增加电机驱动系统的成本和体积，而且在一些极端环境下机械传感器的使用存在着许多不便。因此，无传感器控制技术成为了永磁同步电机控制系统的研究热点[1-5]。

目前，PMSM无传感器控制获取电机转速和转子位置的方法主要分以下两种：基于电机的数学模型和基于电机的凸极效应[6]。基于电机数学模型主要有适用于电机中高速运行阶段的模型参考自适应法[7]、滑模观测器法[8-9]、扩展卡尔曼滤波法[10-11]等。基于电机凸极效应的主要有适用于零低速运行阶段的旋转高频信号注入法和脉振高频信号注入法。当电机运行在中高速阶段，通常是对电机的反电动势进行观测，从而根据反电动势来获得电机的转子位置和转速信息。文献[12]采用sigmoid函数代替传统的符号函数来对反电动势进行估计，在一定程度上削弱了系统的抖振问题。文献[13]采用一种分段型指数函数作为滑模观测器的切换函数，可以有效的削弱抖振，但电机启动时的转速误差较大。文献[14]采用反正切方法来估算转子位置和转速，导致了较大的估计误差。文献[15]采用锁相环的方法来估算转子位置，但是转子位置的观测值受到转速变化的影响，降低了转子位置和转速的观测精度。

本文提出了一种基于幂次趋近律的新型滑模观测器，该新型滑模观测器采用新型分段函数代替传统滑模观测器中的切换函数，并引入幂次趋近律结合到新型滑模观测器的切换函数中，利用李雅普诺夫(Lyapunov)函数验证了其稳定性，同时对用于转子位置和转速估计的锁相环进行改进，消除了转速对转子位置观测精度的影响。最后通过仿真对比分析，结果表明该控制方法提高了转子位置和转速的观测精度，减弱了系统的高频抖振，具有良好的控制性能。

1 永磁同步电机数学模型

假定永磁同步电机为理想电机，并满足条件: ①忽略定子铁芯饱和，磁路为线性，电感参数不变；②转子永磁体磁场在气隙空间分布为正弦波；③不计铁芯和涡流损耗；④转子上无阻尼绕组,则表贴式永磁同步电机在两相静止坐标系下的数学模型为：

(1)

(2)

式中，iα、iβ为定子电流在α、β轴上的电流分量，Rs为定子电阻，Ls为定子电感，uα、uβ为定子电压在α、β轴上的电压分量，Eα、Eβ为α、β轴上的反电动势分量，ψf为永磁体磁链，ωe为电角速度，θ为转子位置角度。

由式(1)可得，转子位置和转速信息包含在反电动势中，因此，可以通过对反电动势进行观测，从而得到转子位置和转速。

2 传统滑模观测器

为了获得反电动势的估计值，传统滑模观测器设计通常如下：

(3)

(4)

(5)

式中，k为滑模切换增益，且k满足：

k>max(|Eα|,|Eβ|)

(6)

为了获得连续的反电动势，需要对式(6)进行低通滤波处理，滤波后得：

(7)

式中，ωc为低通滤波器的截止频率，可得到反电动势的估算值，由式(2)可得转子位置和转速的观测值为：

(8)

(9)

由于低通滤波器的使用，会引起相位滞后和幅值变化，因此为了获得较为精确的转子位置信息，需要对转子位置角进行补偿，即：

(10)

3 新型滑模观测器

3.1 切换函数

传统滑模观测器的抖振现象主要是因为切换函数的不连续性所引起的，传统滑模观测器大多使用的是符号函数，因此使得系统存在大量的高次谐波，本文设计了一种新型分段函数作为滑模观测器的切换函数，其公式为：

(11)

图1 分段型幂函数曲线

式中，Δ为边界层厚度。该分段函数的函数特性曲线如图1所示，由图可知，在边界层内，函数f(x)为光滑上升曲线，在边界层外，函数f(x)可以使电流的误差值饱和，所以能够使估算反电动势更加光滑。

3.2 幂次趋近律新型滑模观测器

定义滑模面函数为:

(12)

取幂次趋近律:

(13)

幂次趋近律新型滑模观测器建立如下：

(14)

式中，k为幂次趋近律新型滑模观测器的滑模增益。

将式(14)减去式(1)可得滑模观测器的误差方程为：

(15)

由式(15)可知，将新型分段函数代替传统滑模观测器中的符号函数，并引入幂次趋近律代替传统滑模观测器的等速趋近律，经过滤波器滤波后，可得到观测的反电动势，从而估算转子转速和位置信息。

为了验证其稳定性，采用李雅普诺夫函数稳定性判据对幂次趋近律新型滑模观测器进行稳定性分析，选取李雅普诺夫函数为：

(16)

对式(16)求导，并代入电流误差方程，可得：

(17)

根据稳定性条件，需要满足：

(18)

k>max(|Eα|,|Eβ|)

(19)

3.3 锁相环估计转子位置

基于反正切函数的转子位置估算方法会导致较大的转子位置估算角度误差，因此本文采用锁相环来获取转子位置的观测值。

当定子电压电流经过幂次趋近律新型滑模观测器后，可以得到观测的反电动势，在反电动势中包含电机的转子位置和转速信息，故转子位置误差信号为：

(20)

误差信号ΔE经过PI调节器，再经过积分可以得到转子位置，锁相环的传递函数为：

(21)

(22)

由式(21)可知，速度的变化会影响锁相环估算转子位置的精度，因此在传统锁相环中加入一个除法环节，可提高观测器的观测精度。改进后的锁相环结构框图如图2所示。

图2 锁相环结构图

因此可得：

(23)

此时锁相环的传递函数为：

(24)

该锁相环可滤除反电动势中的高频谐波分量，提高转子位置的观测精度。

4 仿真结果及分析

图3为基于幂次趋近律新型滑模观测器的永磁同步电机无传感器控制系统结构框图，采用Matlab/Simulink软件，搭建了基于幂次趋近律新型滑模观测器的永磁同步电机无传感器控制系统仿真模型，并对参数如表1的表贴式永磁同步电机进行了系统仿真。

图3 PMSM无传感器控制框图

表1 电机参数表

图4为采用传统滑模观测器系统的实际转速、观测转速以及转速误差波形。图5为采用幂次趋近律新型滑模观测器系统的实际转速与观测转速、转速误差波形。由图可知，传统滑模观测器起动性能差，起动阶段转速误差较大，稳定后转速观测误差为±13r/min,基于幂次趋近律的新型滑模观测器减弱了系统的抖振问题，起动阶段转速误差较小，响应速度快，可以很好地跟踪实际转速并且稳定在目标转速，稳定后转速观测误差为±0.1r/min,提高了系统的转速观测精度。

(a)转速实际值与估计值 (b)转速误差图4 传统滑模观测器控制的响应波形

(a)转速实际值与估计值 (b)转速误差图5 幂次趋近律新型观测器控制的响应波形

图6为使用传统滑模观测器系统的转子实际位置、观测位置和转子位置观测误差响应波形。图7为使用幂次趋近律新型滑模观测器系统的转子实际位置、观测位置和转子位置观测误差波形。根据图6和图7对比分析可得，传统滑模观测器对于电机转子位置的观测在初始阶段存在着明显的抖振现象，而且转子位置观测误差较大，基于幂次趋近律的新型滑模观测器可以快速准确地观测转子位置，减弱了系统的高频抖振，转子位置误差远远小于传统滑模观测器，观测精度较高。

(a)转子位置实际值与估计值 (b)转子位置误差图6 传统滑模观测器控制的响应波形

(a)转子位置实际值与估计值 (b)转子位置误差图7 幂次趋近律新型观测器控制的响应波形

5 结论

针对传统滑模观测器存在的高频抖振、观测精度差等问题，本文采用新型分段函数代替传统滑模观测器中的符号函数，并引入幂次趋近律结合新型分段函数，同时采用改进锁相环技术对转子位置和转速进行估计。仿真结果表明基于幂次趋近律的新型滑模观测器能够减弱系统的高频抖振，准确地估算转子位置及转速，具有良好的控制性能。