魏胜利，石 玉

(安阳工学院计算机科学与信息工程学院，河南 安阳 455000)

0 引言

在汽车制造等许多领域，都需要进行喷涂。采用喷涂机器人进行自动喷涂在现阶段已经成为主流的方法。快速高效和均匀是喷涂追求的目标。喷涂的效果除了与被喷涂表面的材质、粗糙程度、形状及喷涂材料有关之外，还与喷涂机器人的参数有关，比如喷涂距离、喷涂角度、相对速度和喷涂路径[1]。国内外许多研究人员都对提高喷涂机器人的喷涂质量进行了研究。由于喷涂路径对喷涂质量有着重要的影响，所以多数研究集中在喷涂路径规划研究方面。文献[2]利用正交矩阵分析了基体材料、喷涂距离、喷涂温度、进料方式对喷涂效果的影响。施栩等通过建立喷涂层厚度分布数学模型，确定合适的间距来提高喷涂效率，解决陶瓷的釉层不均匀的问题[3]。蔡振华等根据实体模型的布尔运算结果，综合路径生成和喷涂工艺参数，提出了一种最短路径的规划方法，并能保持路径间距基本一致[4]。潘洋等根据平面静态喷涂模型，提出了一种面向复杂曲面的轨迹规划方法以解决喷涂作业时的涂料不均匀以及堆积问题[5]。陈颖峰等针对自由度喷涂机器人的运动控制问题，进行了相关高精度控制算法的研究[6]。宁祎等针对复杂表面特征的工件的喷涂进行了研究，提出了基于机器视觉和自学习算法的智能喷涂轨迹规划方法[7]。王慧琛等基于喷涂间距的数学模型提出了一种针对喷涂均匀的设计方案[8]。李芳等对六自由度喷涂机器人的运动控制算法进行了研究，给出了一种规划器，并验证了算法的精确性[9]。

上述文献分别从影响喷涂质量的因素分析、路径规划和控制算法等方面对喷涂机器人进行了研究，取得了一定的效果。但它们都没有从喷头和喷涂面之间的角度以及距离出发来研究提高喷涂质量。根据文献[1]，喷涂角度对喷涂质量的提升具有重要作用。对于曲面来讲，保持喷头和喷涂面的垂直以及喷涂间距的恒定有利于提高喷涂效率和喷涂均匀度。提出了一种使用五自由度机器人进行喷涂的方法，在喷涂过程中保持喷头时刻垂直于喷涂面，并使喷头和喷涂面距离保持恒定。以NURSB(非均匀有理B样条)作为喷涂面描述方法，采用基于矫正的泰勒展开式保持插补步长等长以及喷涂路径等间距，以提高喷涂的均匀度和喷涂效率。

1 五自由度机器人喷涂方法

从理论上说，在不考虑行程限制和干涉的情况下，五自由度机器人可以从任意的方向实现对喷涂面进行喷涂，并保持喷头垂直于喷涂面，因此，本文基于五自由度喷涂机器人进行研究。如果考虑行程和干涉等因素，可以增加自由度。五自由度喷涂机器人具有5个可活动的关节，喷头安装在机械臂的末端，喷头末端采用喇叭状，以保障喷涂区域稳定，提高喷涂均匀度。

对于喷涂对象是光滑的平缓的自由曲面的情况，保持喷头垂直于喷涂面，且喷头和喷涂面的距离恒定可以比较好地保证喷涂的均匀，提升喷涂效率。保持喷头垂直于喷涂面，是指喷头中心线始终和喷涂面的法矢方向保持一致，即喷头的中心线和其与喷涂面上交点处的法矢保持重合，如图1所示。所谓喷涂距离保持不变，即喷头的下端距其中心线和喷涂面的交点处的距离在喷涂过程中保持不变。一般由于喷头的长度是一定的，也就是图中末端关节的中心点距喷涂面的距离d保持不变。在喷涂过程中末端关节中心点始终和喷涂面保持等距。

图1 喷头垂直于喷涂面以及喷涂距离恒定

2 路径规划及运动关系

2.1 两种规划路径

合适的路径规划可以提高喷涂效率，保证喷涂均匀度。文献[3-5,7-8]分别针对不同的情况，给出了路径规划方法。对于变化比较平缓的曲面，复杂的、自适应的、智能的路径规划方法并不一定能提升效率，反而会造成算法的复杂。因此，喷涂路径可以采用两种规划方式：一种是“之”字形路径规划方式，一种是“回”字形规划方式。图2为“之”字形路径规划方式，其中带箭头的实线是喷头对应的中心线，箭头表示前进方向；虚线表示两次喷涂之间的边界，两条虚线中间的范围就是喷头喷涂行走时覆盖的范围或者称为喷涂直径。图3是“回”字形路径规划方式，其中带箭头的实线是喷涂路径的中心线，虚线是喷涂的边界。“之”字形路径规划方式更容易实现，“回”字形路径规划连续性更好。

图2 “之“字形路径图3 “回“字形路径

2.2 机械臂运动关系

规划好喷涂路径后，要求出路径上一系列点，这些点称之为规划路径上的插补点。由插补点的坐标及两个切矢求出法矢，根据等距关系求出末端关节中心点的坐标及位姿，由插补点的速度、加速度求出末端关节中心点的速度、加速度。根据这些参数利用机械臂逆运动学求出各个关节的瞬时转动角度、速度、加速度。控制系统给各个关节的驱动电机发出控制信号，按照上述角度、速度、加速度进行动作，完成喷涂操作。

设已知喷涂面上某条规划路径上的某个插补点Pi以及该点处的两个切向量(切矢)t1和t2，如图4所示。

图4 插补点示意图

可以用式(1)求出该点处的法矢Ni。

Ni=t1×t2

(1)

从而可以利用式(2)求出末端关节中心点的坐标Qi。

(2)

(3)

其中，Rot(z，θ)表示绕z轴转动θ，Trans(x，ai-1)表示沿着x轴平移ai-1，Transl(z，di)表示沿z轴平移di，Rot(x，αi-1)表示绕x轴转动αi-1。θ表示关节角，ai-1表示连杆长度，di表示连杆偏距，αi-1表示相邻两个轴的夹角。

通过连续的坐标变换可以求出末端关节相对于基座的坐标变换，如式(4)所示。

(4)

在上述矩阵中，其左上角的3×3子矩阵代表旋转变换的旋转矩阵，每列从左到右分别表示末端坐标在基座坐标系x、y、z轴上的投影，为末端坐标在基坐标系下的方向位姿。最后一列px、py、pz表示末端坐标相对于基座坐标系的位置，即平动坐标。

根据式(4)，在已知末端位姿和基座坐标的情况下，利用机器人逆运动学方法可以求出各个关节转动的情况，从而可以让控制器给各个关节的驱动电机发出指令，完成循迹操作。根据规划的喷涂路径及喷头与喷涂面的垂直和等距关系求出喷头中心的位姿。

在机械臂操作中速度控制要用到雅可比矩阵如式(5)所示，它是机械臂末端的笛卡尔速度与各个关节速度的变换矩阵。

V=J(q)ω

(5)

其中，V为机械臂末端的速度，它包含末端位姿的平移速度和转动速度，是一个6维向量，V=[vxvyvzwxwywz]T。J(q)是一个6×5的矩阵。ω是各轴的角速度，它是一个5维的向量

由于V包括平移速度和转动速度两部分。所以，雅可比矩阵J(q)也可以写成如下形式：

(6)

由式(4)中的转换矩阵，Jv和Jw分别表示为如下形式：

(7)

(8)

根据式(5)，各关节的角速度为如下形式：

ω=(J(q))-1V

(9)

其中，(J(q))-1是J(q)的逆矩阵。可以采用广义逆矩阵方式求解，为了更加方便计算，可以将五自由度机械臂虚拟为六自由度机械臂，但其最后一个位姿一般保持不变。

3 插补及位姿计算

鉴于NURBS(非均匀有理B样条)具有强大的统一描述能力，且被STEP(产品模型数据交换标准)作为定义工业产品几何形体的标准数学表达方法，因此被喷涂的曲面采用NURBS方法来描述。在数控及机器人路径规划领域，很多研究基于NURSB开展。周晟等采用5次NURBS方法建立路径数学模型，提出改进的人工蜂群算法，解决喷涂机器人轨迹优化问题[10]。晋文科等为有效抑制机械臂高速运动过程中的波动，提出一种基于NURBS算法的7关节冗余机械臂轨迹规划方法[11]。张鹏等针对喷涂机器人在大曲率组合曲面的面片上喷枪轨迹间的组合与连接问题，结合曲面拟合理论与喷枪建模方法，建立喷枪轨迹优化模型，提出一种满足大曲率组合曲面上喷枪轨迹首尾衔接的算法程序[12]。

喷涂面以NURBS方法描述，采用泰勒展开式等间距的喷涂路径和等长的插补步长。

一个NURBS曲面可以描述为：

(10)

其中，Pi,j为控制顶点矢量，Wi,j为权因子，Bi,k(u)和Bj,l(ξ)分别为沿u向和沿ξ向B样条基函数。

如果不知道被喷涂曲面的NURBS方程，可以通过扫描获取被喷涂曲面的散乱型值点或者点云数据，通过逆向工程拟合出其NURBS方程。

3.1 确定等间距喷涂路径

根据前面所述，路径规划可以采用“之”字形路径或者“回”字形路径。这里采用“之“字形路径进行说明。

NURBS描述方法为双参数方法，具有两个参数，即u方向和ξ方向两个的参数。在式(10)中，如果设定一个参数为特定值，则其将演变为一条NURBS曲线，式(11)表示设定ξ方向参数时获得的u方向曲线方程。

(11)

将一个方向的参数取一系列特定的值，则可以在NURSB曲面上表达出一系列的NURSB曲线，将这些曲线作为喷涂的中心路径。一般情况下，被喷涂的曲面都较为平缓，极少出现剧烈的变换或者扭曲现象，因此采用这种方法可以取得较好的效果。

在喷涂中，希望喷涂路径的间距是等距的，这样可以减少喷涂次数，提高均匀度。问题的关键在于方向参数的确定。在NURBS方法中，方向参数通常在0～1之间变化，但参数的等间隔分配并不能使得获得的曲线是等间距的，因此应该采用保证曲线等间距的方式来确定方向参数。可以采用泰勒展开式法来获得较为稳定的等间距曲线(喷涂路径中心线)。根据图3所示的喷涂覆盖范围(或者喷涂直径)，可以得到两条喷涂中心线的间距l，根据间距l使用二阶泰勒展开式估计出下一个参数。

(12)

在计算时，导数可以用差分方式进行计算。计算出ξi+1后代入式(10)，计算出该曲线。由于这个估计的参数存在一定的舍弃误差，并且误差还可能积累，因此，计算出来以后可以进行验证，计算该曲线和上一条曲线的距离l′，如果能满足要求，则采用该值，如果误差较大，则进行矫正操作。

(13)

3.2 确定等步长插值点

要实现连续的喷涂，要求出喷涂路径上的一系列插值点，即要求出式(11)一系列的插值，从而保证喷涂连续进行。为了达到喷涂快速均匀的目标，对于曲面形状变化平缓的喷涂曲面，采用恒定的喷涂速率有利于提高喷涂速度，保持喷涂稳定高效，提高喷涂质量。恒速的喷涂需要采用等步长插补方法。确定插值点的关键是确定喷涂路径NURBS曲线的u方向的参数，其思路和确定ξ一样采用泰勒展开式-矫正方法。

确定出参数之后，利用式(11)进行计算插值点。令：

(14)

(15)

那么式(11)可写成：

(16)

C(u)的一阶和二阶导数可以写成如下形式：

(17)

M(u)和N(u)可以由deBoor方法求解。M′(u)和N′(u)可以根据式(18)求出。

(18)

其中，Bc,k-1为B样条基函数，Vi为B样条控制顶点。

根据上述公式可以计算出插值点的坐标以及在插值点的μ方向的切向量和ξ方向的切向量。利用这两个向量可以求出该点处的法向量。如果将这两个切向量命名为t1和t2，将法向量命名为Ni，则其求解方法见公式(1)，如果将插值点的坐标向量命名为Pi，则利用公式(2)求出末端关节中心点的坐标Qi。

3.3 机械臂运动求解

法向量Ni和末端关节中心坐标Qi代表了喷头相对于基坐标的位姿和平动坐标，即式(4)的右边矩阵。

3.4 结果仿真

根据前面的算法分析，实现了相应的算法，并进行了仿真。图5是要进行喷涂的喷涂曲面，用NURBS方法进行描述。图6是喷涂的路径及喷涂的插补点，采用“之”字形规划路径。从图中可以看出，喷涂路径光滑平顺，喷涂间距等宽且均匀，达到了算法的目的，为高效均匀的喷涂提供了算法的保证。图7是喷涂的步长变化情况，图示表明，进行喷涂时基本保证了步长的稳定，达到了算法的目的，为实现高速平稳的喷涂提供了条件。

图5 喷涂面图6 喷涂的路径及插补点

图7 喷涂步长变化

4 结束语

针对喷涂对象为平缓光滑曲面的情况，提出了一种保持喷头时刻垂直于喷涂面且喷涂距离恒定的喷涂方法。喷涂面采用NURBS方法进行描述，对于不知道喷涂面NURBS方程的情况，可以扫描喷涂面获得点云数据，利用逆向工程求得喷涂面的NURSB方程。采用“之”字形或者“回”字形喷涂路径，以泰勒展开式保持喷涂速度恒定及相同的喷涂间距，以此达到快速平稳均匀喷涂的目的。实现了算法，并进行了仿真。结果显示，算法能够达到保持路径均匀等宽以及插补步长恒定，从而为实现高效平稳均匀的曲面喷涂提供了保证。