江苏省仪征市新集初级中学 (211403) 李爱民

1 原题呈现

图1

(1)当n=1时，①求线段AB所在直线的函数表达式；②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值；

(2)若小明的说法完全正确，求n的取值范围.

2 试题评析

本题叙述简约，函数图像简洁，结构合理，内涵丰富，重点考查学生逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养，是一道具备选拔功能的压轴题.函数是初中代数的核心知识，是中考考查的重点内容.本题最大的妙处是贯穿初中三个函数，题干是反比例函数，通过动点探究反比例函数k变化的性质；第(1)问中的第①问考查待定系数法求一次函数表达式，这是基础；第②问是命题判断和推理说明，考查数学建模、逻辑推理能力，这是素养.两个大问题设计层次分明，第(1)问中包含的两个问题，对解决第(2)问具备启发作用，考查学生特殊到一般、分类讨论等数学思想.该试题对教师的教学也具备一定的指导作用.

3 第②问典型解法呈现

评注：列举法也能充分说明小明的说法不完全正确，因为说明一个命题错误，可以举一个反例，但对k最值问题的说理不充分，所以该解法不能得满分.此种解法说明这类学生还是具备一定的数学素养的，在列举点P经过的特殊点时，没有杂乱无章的取，而是不断取线段的中点，体现了逐步逼近的思想；在出现两个k值相等时，联想到二次函数的对称性，所以取了BD的中点E，认为……