臧爱彬

(宜春学院 应用数学研究中心，江西 宜春 336000)

1 引言

粘性消失极限问题是流体力学方程中一类重要而富有挑战性的问题。 主要是研究下列不可压缩流体力学运动的Navier-Stokes方程：

(1.1)

(1.2)

粗略地说，粘性消失极限问题的中心课题是研究Navier-Stokes方程组的解在何种空间，何种意义下收敛到Euler方程组的解。

许多数学家研究过粘性消失极限问题。例如在没有边界区域，即Ω是整个欧氏空间Rn,Swan[1]研究了Navier-Stokes方程组(1.1)的解收敛到Euler方程组(1.2)的解，Masmoudi[2]进一步完善收敛结果即Navier-Stokes方程组的Hs解收敛到Euler方程组Hs解，当初始速度具有Hs的正则性。当Ω为有界区域时，方程组(1.1)在边界上∂Ω上满足完全滑动边界条件或Navier边界条件时，即

而Euler方程组(1.2)满足不可渗透边界条件即可，

(1.3)

但是如果Navier-Stokes方程组(1.1)在边界上∂Ω上满足以下无滑动边界条件(Dirichlet条件)

uν=0

(1.4)

则Navier-Stokes方程组(1.1)、(1.4)的解收敛到Euler方程组(1.2)(1.3)是非常困难的，困难在于方程组(1.1)在Dirichlet条件(1.4)下，缺少有用的旋度或者压力项的边界条件，从而很难得到一致于ν的高阶估计，以及不同边界条件产生的边界层。在特殊区域中研究(1.1)(1.4)得到了粘性消失极限的结果。Mazzucato与其合作者[7,8]在管状对称的区域，也得到了较好的粘性消失极限结果。在给定二维空间下适当光滑的初值或周期初值问题(见Constantin and Wu[9,10])中，uν也收敛到相应Euler方程的解uE。

值得一提的是Bona和吴家宏[11]在圆盘上当fν=fE=0时，研究了方程组(1.1)具有边界条件(1.4)并且满足径向对称解的粘性消失极限问题。主要结论如下：

作者发现定理A中的初始条件可以减弱，可将定理A推广到如下本文的主要结果：