李佳晶，周林华

(长春理工大学理学院，吉林 长春 130022)

0 引言

霍乱是一种急性肠道传染病，尽管人们在努力限制其传播，但它仍可引起暴发和大流行[1-5].其传播方式在小范围内主要是接触传播，而在大范围内传播时主要的传播方式是水流传播，特别是在卫生条件差的地方水流极易受到污染而增加霍乱的发生率.人们对霍乱普遍易感，病后可获得一定免疫力.近年来，一些地方出现了霍乱暴发，包括海地(2010—2011年)、喀麦隆(2010—2011年)、肯尼亚(2010年)等[6].霍乱因其高致病性和快速传播性，成为全球公共卫生和疾病防控体系最为关注的疾病之一.

鉴于流行病的特殊性，对流行病的研究不可能借助于实验的手段，所以对其通过理论分析和模拟仿真来进行研究就显得尤为重要.近年来传染病微分方程模型被广泛应用到控制传染病流行的研究中，包括对霍乱的建模研究[7-21].Chao等[7]对海地霍乱暴发建立了随机模型，分析了疫苗接种策略的影响.Eisenberg等[12]提出了一个多组模型来解释海地霍乱的传播，并确定最佳控制干预措施，但在证明地方病平衡点时模型只考虑了群体间的直接传递，忽略了群体间的间接传递.上述模型的分析在很大程度上依赖于数值模拟.Eisenberg等[13]建立了霍乱传播的常微分方程模型，该模型包含直接和间接传播、非线性发病率、病原体的多重感染状态和感染个体的多重感染阶段，其结果包含和扩展了许多先前的结果.

近年来关于霍乱模型的研究，就建模而言考虑的舱室对象均是在不可约网络结构下的相关研究.然而，疾病的传播往往是在各种复杂网络系统之间进行，而对于可约网络结构下的霍乱传染病动力学建模与分析，至今没有发现相应的结果.本文将在可约网络结构下，考虑两区域的SIR霍乱传染病动力学模型及其稳定性分析.

1 海地霍乱传播动力学建模

1.1 相关背景

2010年海地大面积暴发霍乱.疫情最初暴发于阿蒂博尼特地区并且迅速向海地西部等周边地区蔓延.在阿蒂博尼特地区主要考虑3个受感染的城市，它们分别为Gonaïves、Saint-Marc和Dessalines；在海地西部同样考虑3个受感染的城市，分别为Arcahaie、Léogne和Croix-des-Bouquets.其中Gonaïves市的霍乱细菌沿MEYE支流流入Léogne，Saint-Marc市的霍乱细菌沿MEYE支流分别流入Arcahaie市和Croix-des-Bouquets市.海地地图和两个地区中不同城市的代表点具体见图1和表1.

图1 海地地图

表1 城市对应点

1.2 模型的建立

(1)

1.3 模型的约化

由可约矩阵定义，存在置换矩阵Q，使得

(2)

其中：Clk×lk是非负不可约矩阵；Al2×l1是非负矩阵.这里l1=l2=3，k=1，2.于是，模型(1)约化为

(3)

由文献[26]的Next-Generation方法，令

则模型(3)的基本再生数为R0=ρ(M0)，其中ρ表示谱半径.

由接触矩阵B的形式，可将模型(3)分解为Cl1×l1和Cl2×l2两个子系统，分别满足：

(4)

(5)

当4≤i，j≤6时，Cl2×l2的子系统分下述两种情形：

当满足情形1时，Cl2×l2的子系统为

(6)

当满足情形2时，Cl2×l2的子系统为

(7)

2 平衡点稳定性及证明

2.1 系统平衡点的稳定性

引理2.1设B=(βij)(1≤i，j≤3)是不可约矩阵.

引理2.2设B=(βij)(4≤i，j≤6)是不可约矩阵.

定理2.3设B=(βij)是可约矩阵，R0>1.

由文献[22]的命题3.1和定理3.3知，本文上述引理2.1与引理2.2是成立的.同时，若定理2.1成立，则易得定理2.2与定理2.3.因此，下面重点构造Lyapunov函数以证明定理2.1.

2.2 定理2.1的证明

由于变量Ri没有出现在模型(7)的前两个方程中，所以考虑以下简化系统：

(8)

易知模型(8)的可行域为

(9)

并且

(10)

构造模型(8)的李雅普诺夫函数

根据平衡点性质，以下等式成立：

(11)

于是，沿系统(8)的解曲线对李雅普诺夫函数求导可得

(12)

(13)

所以

(14)

其中：D(3；l)表示具有长度为l的定向循环的3个顶点的所有单圈图的集合；CQ是在单圈图Q属于D(3；l)中具有长度为l的定向循环；E(CQ)和E(Q)分别代表CQ和Q中的弧.由文献[22]有

(15)

进一步结合(14)和(15)式可得V′≤0.

3 数值模拟

表2 参数取值及变量初值

(1) 无病平衡点情形

(a)第1组第2组

(2) 地方病平衡点情形Ⅰ

(a)第1组第2组

(3) 混合平衡点情形

(a)第1组第2组

(4) 地方病平衡点情形Ⅱ

(a)第1组第2组

图2—5中，I1，I2，I3代表3群体中第一组的染病者，I4，I5，I6代表3群体中第二组的染病者.

本文表明两组SIR模型的全局渐近行为完全由基本再生数R0的大小确定.但和以往不同的是，在该结果中即使R0≤1也可能使霍乱疾病发生.因此对于霍乱疾病，除了要严格隔离治疗病人和带菌者外，还要杜绝人们喝生水、用生水浸泡蔬菜等习惯，防止外来霍乱细菌的入侵.