郑玲玲，郭 飞

(天津大学数学学院，天津 300354)

1 主要结论

本文研究如下二阶Hamilton系统：

(1)

(A) 对任意x∈Rn，W(t，x)关于变量t是可测的；对a.e.t∈[0，T]，W(t，x)关于x是连续可微的；存在函数a1∈C([0，+∞)，[0，+∞))和a2∈L1([0，T]；[0，+∞))，使得

超二次条件在Hamilton系统研究中的使用可以追溯到20世纪.早在1978年，Rabinowitz[1]便提出了众所周知的经典超二次条件(下称(A-R)条件)，并得到了周期解的存在性.之后该条件在研究Hamilton系统周期解和同宿解等问题中被广泛使用，如文献[2].近年来，有许多学者使用了更弱的条件代替(A-R)条件.文献[3]引进了比(A-R)条件更弱的超二次条件，即

当f(t)≡0时，文献[3]在条件(FG)下使用环绕定理得到Hamilton系统周期解的存在性.随后，很多文献都在(FG)条件下研究了系统(1)的周期解问题.[4-7]2018年，文献[8]在研究非扰动系统同宿解的存在性时使用了比(FG)更弱的局部超二次条件.

当f(t)≡0时，研究扰动系统周期解问题的文献极少.文献[9]研究了一类带扰动的一阶Hamilton系统周期解的存在性和多重性，尚未发现对扰动系统(1)周期解问题的研究.关于扰动系统(1)同宿解存在性和多重性的研究的文献也很少.文献[10]在非线性项W满足(A-R)条件下，得到了系统(1)同宿解的多重性.文献[11]在非线性项W满足(FG)条件下，得到了系统(1)同宿解的多重性.

受此启发，本文对扰动系统(1)使用山路引理，考虑在非线性项W(t，x)满足局部超二次条件(即下述条件(W3))时，系统(1)的周期解的存在性.本文结论如下：

定理1.1假设函数B(t)，W(t，x)，f(t)满足条件(A)和下列条件：

(B)B∈C2(R，Rn×n)为对称正定矩阵函数，且是T周期的.

(W1)W∈C2(R×Rn，R)，关于变量t是T周期的，W(t，0)≡0，W(t，x)≥0，对∀(t，x)∈[0，T]×Rn成立.

则系统(1)存在一个非平凡的周期解……