李海红，李海霞

(1.吉林建筑大学基础科学部，吉林 长春 130118；2.长春光华学院商学院，吉林 长春 130031)

0 引言

生态系统不但与当时的因素有关，也与时滞效应有密切的联系.为了更好地还原生态背景，人们将时滞引入种群动力学模型[1-2].

本文研究的3种群时滞食物链系统可表示为

(1)

系统(1)描述了后者捕食前者的3种群时滞食物链模型，这里假设中层和顶层捕食者拥有捕食能力的时间为τ[3]，猎物成熟时间为τ，捕食者仅捕食成熟猎物.在系统(1)中引入随机扰动，得到随机时滞系统：

(2)

本文主要研究在白噪声干扰下随机时滞系统(2)的持久性和非持久性.

1 系统(2)的持久性

首先给出随机系统在均值意义下持久性的定义[3].

定义1.1称系统(2)在时间均值意义下是持久的，若有

引入系统：

(3)

引理1.2若假设1成立，则系统(3)的解满足如下结论：

证明由文献[5]和假设1得

(4)

应用伊藤公式，系统(3)的第2个式子可变形为

dlogΦ2(t)=(-r2+b21Φ1(t-τ)-b22Φ2(t))dt-σ2dB2(t).

进一步可得

(5)

注意到

则

(6)

由文献[4]的引理1.3和假设1可得

dlogΦ3(t)=(-r3+b32Φ2(t-τ)-b33Φ3(t))dt-σ3dB3(t)，

由带扰动的非自治的Logistic方程解的形式[6]，可得

x(t)≤Φ(t)，

(7)

其中Φ(t)为随机时滞微分方程(3)的解.

综上，再由文献[4]的引理1.2，下述结论显然成立：

定理1.1若假设1成立，则系统(2)的解x(t，ξ)满足

进一步有：

定理1.2若假设1成立，则系统(2)的解x(t，ξ)满足

证明由系统(2)可得

类似有

且

则

且由(7)式可知

(8)

2 系统(2)的非持久性

分两种情况分析随机系统的非持久性.

情形1r1<0.

由伊藤公式，系统(3)的第一个方程可变形为

dlogΦ1(t)≤(r1-b11Φ1(t))dt-σ1dB1(t).

则

类似有：

显然，由情形1的证明过程可得

类似有

由上述讨论可得如下结论：

定理2.1若假设1成立，x(t，ξ)是……