刘 楠，郭雅卓

(1.石家庄铁道大学，省部共建交通工程结构力学行为与系统安全国家重点实验室，河北 石家庄 050043;2.河北师范大学，化学与材料科学学院，河北 石家庄 050016)

0 引 言

近年来，国内外学者也在不断完善和发展准零刚度隔振器，并针对准零刚度的各种不足提出了多种办法进行优化。彭献[1]利用连杆机构设计制作了准零刚度隔振器的负刚度机构。徐道临[2]利用五根螺旋弹簧设计了一种高频低动隔振器。Wang Zhou[3]提出一种具有两级准零刚度隔振系统，并建立了分段非线性动力学模型。Liu Yu[4]在隔振系统中加了辅助系统，降低传递率和跳跃现象。宋春芳[5]设计了一个隔振床用碟形弹簧与螺旋弹簧并联实现负刚度机构。刘德稳[6]设计一种竖向准零刚度隔振器运用到建筑上，来防止地震波的影响。Han Liu[7]使用电磁非对称磁齿结构设计了一种电磁隔振器。Liu Zhao[8]研究了库仑摩擦对欧拉屈曲梁隔振器的影响。但是，经过多年发展，准零刚度隔振器存在较大共振峰的问题依然没有得到有效解决。

笔者对准零刚度隔振器进行了创新，拉伸弹簧作为准零刚度隔振器的负刚度机构，设计了一种准零刚度隔振器，实现隔绝低频的效果，但隔振系统存在较大共振峰。在此基础上，设计了一个动力吸振器的准零刚度隔振器，即可有效减小幅频响应曲线峰值，对低频激励进行有效隔绝，又可解决强共振峰问题。通过取长补短，使主系统不产生大的共振峰，在大部分激励频率下也能保持系统的稳定。

1 隔振器的静力学分析

准零刚度隔振器由负刚度机构和正刚度机构组成，如图1(a)和(b)所示。负刚度机构由拉伸弹簧4、活塞杆3和缸体2组成，在左侧负刚度机构中拉伸弹簧4左端和活塞杆3连接，右侧和缸体2连接。拉伸弹簧4在静平衡位置处的拉伸量δ，刚度为kh。Fμ为负刚度系统中缸体2与活塞杆3发生相对运动时产生的库仑摩擦力，l为负刚度机构单侧的长度。正刚度系统由一个垂向弹簧6、立柱1和基座7构成，刚度为k1，阻尼为c1。质量块5的质量为m1，在受到沿立柱1方向简谐力F0cos(ωt)时，质量块5位移用X1来表示。

图1 非线性准零刚度隔振器1.立柱 2.缸体 3.活塞杆 4.拉伸弹簧 5.质量块 6.垂向弹簧 7.基座

在激振力作用下，m1质量块进行位移X1，准零刚度隔振器的竖向恢复力为:

(1)

(2)

当式(2)除以x1时，可以得到隔振器的无量纲刚度:

(3)

令x1=0，代入式(3)确定隔振器准零刚度条件:

(4)

当满足系统参数满足式(4)时，隔振系统具有准零刚度。

由式(2)、(3)可得不同库仑摩擦fμ、预紧力δ1和刚度比k下隔振器的恢复力-位移曲线，如图2所示。在负刚度机构作用下，在只改变库伦摩擦fμ，当库伦摩擦fμ=0时，隔振系统在x1=0附近，出现系统刚度为零的情况，随着库仑摩擦fμ的增大，系统在静平衡附近的正刚度特性不断增强，零刚度特性消失。

图2 在不同库伦摩擦力条件下无量纲恢复力和无量纲刚度

从图3中可以看出，在仅改变预拉伸长度δ1下，隔振系统的刚度也随之发生改变，当预拉伸长度δ1=0.6时，在静平衡位置x1=0附近，隔振系统出现刚度为零的情况，当负刚度机构中延长弹簧的预拉伸长度δ1不断减小时，准零刚度隔振系统的正刚度特性呈增大趋势。且从图3中得到，系统刚度对预拉伸长度δ1的变化较敏感。

图3 在不同预拉伸长度条件下无量纲恢复力和无量纲刚度

由图4可知，只改变隔振系统刚度比k，系统的刚度特性发生改变，当系统刚度比k=0.7时，在静平衡位置x1=0附近，隔振系统出现刚度为零的情况，而随着刚度比k的增大，隔振系统正刚度特性越发明显，零刚度特性消失。从各刚度-位移曲线可以得到，不同系统参数的变化对隔振系统零刚度特性的影响是不相同的，只有当系统参数满足式(4)时，系统在静平衡位置表现出准零刚度特性。

图4 在不同刚度比条件下无量纲恢复力和无量纲刚度

使用泰勒展开[9]，将式(2)、(3)展开为:

(5)

(6)

由图2～4所示，与式(5)、(6)可知，隔振系统无量纲力为奇函数，无量纲刚度为偶函数。

图5给出了泰勒展开与原始表达式的比较。由式(5)和式(2)得到隔振系统的恢复力特性图，如图5(a)所示。由式(6)和式(3)得到的刚度特性如图5(b)所示。图中虚线为泰勒拟合式，实线为系统无量纲恢复力和无量纲刚度原式，从图5可以看出，当位移x1较小时，泰勒展开的结果与原表达式一致，因此在小位移x1下，泰勒展开式(5)和(6)能够近似表示隔振器的准零刚度特性。

图5 泰勒式的恢复力和刚度图

2 可吸振式隔振器动力学分析

由于准零刚度隔振器受到大激励力时，系统会产生强共振峰，针对这种情况设计一个动力吸振器来减弱隔振系统强共振峰问题，使系统在任何激励频率下都能保持稳定[10]。接地吸振器由吸振弹簧8和吸振质量块9组成。由此设计了可吸振的准零刚度隔振器(VIDA)，如图6所示，k2为吸振器弹簧刚度，c2为吸振器阻尼，k3为吸振器接地弹簧刚度，X1为主质量块在简谐力F0cos(ωt)激励下的响应位移，X2为吸振质量块的响应位移。

图6 吸振式准零刚度隔振器 (8吸振弹簧、9吸振质量块)

对可吸振式非线性准零刚度隔振系统中的质量块施加一个简谐力F0cos(ωt)作为激励源得：

(7)

对各个参量进行无量纲化处理，令:

并代入式(7)得系统得运动微分方程为：

(8)

使用多尺度法[11,12]求解运动微分方程，且由于阻尼较小，激励幅值小，非线性较弱，设ξ1=O(ε)，γ=O(ε)，vξ2=O(ε)，v2=O(ε)，Ω2=1+εσ，σ=O(1)，f0=O(ε)。

其中，ε为小参数，σ为调谐频率，代入式(8)得:

(9)

研究准零刚度隔振系统一阶近似解，需要两个时

间尺度，令：

(10)

式中：τ0=τ，τ1=ετ，τ2=ε2τ。

定义偏导数算子来表示导数算子：

(11)

将式(10)和式(11)代入式(9)得：

(12)

(13)

(14)

设式(12)中第一个方程的解为：

(15)

其中cc为代表前面各项得共轭。

将式(15)代入式(13)可得：

(16)

在吸振隔振系统中，只考虑主频的影响，因此可得式(16)第一式消除永年项的条件为：

(17)

而式(16)中第二式不存在永年项。

其中式(16)中特解x12和x22分别是：

(18)

将式(17)和(18)代入式(14)得：

(19)

其中：

根据式(19)中第一式消除永年项的条件为：

B1=0

(20)

式(19)中第二式不存在永年项。

设复函数A1(ετ,ε2τ)为：

(21)

将式(21)代入式(17)和(20)中，将实部和虚部分离得：

(22)

其中，幅值a和相位Φ为缓变时间尺度τ1的函数且为实函数。由式(22)得到幅频响应方程为：

(23)

3 可吸振的隔振器线性分析

采用经典方法[13-14]，忽略可吸振的隔振系统的非线性项，建立动态方程。

(24)

(25)

根据式(25)，得到了可吸振的隔振系统在线性条件下的幅频响应公式：

(26)

其中：E1=2ξ2Ωv,E2=v2-Ω2

E3=2ξ1Ωv2-2ξ1Ω3-2ξ2μΩ3v-2ξ2Ω3v+2ξ2Ωv

E4=v2-Ω2-Ω2v2+Ω4-μΩ2v2-4ξ1ξ2Ω2v

4 带减振器的隔振器参数分析

由式(23)得到准零刚度VIDA系统幅频响应的非线性解析解，由式(26)得到线性解析解。在非线性解析方程中，m1=1 kg，m2=0.1 kg，δ=0.1 m，l=0.2 m，k1=1 000 N/m，kh=800 N/m，f0=0.07，fμ=0，v=0.58，ξ1=0.1，ξ2=0.2，而在线性解析方程中，v=0.85。主要分析系统参数的影响，包括固有频率比v、隔振器阻尼比ξ1、地面吸收器的阻尼比ξ2、激励幅值f0。

在该系统中，仅增加固有频率比v就等于增加VIDA系统的刚度k2。如图7(a)所示，横轴为无量纲激励频率，纵轴为无量纲响应幅值。随着固有频率比v的增大，低频共振段的响应幅值a1增大，高频共振峰的响应幅值减小。由于固有频率比v的增加意味着刚度k2的增加，地吸收器可以吸收更多的能量，低频谐振峰值增大，说明峰值是由地吸收器引起的。由图7(a)和(b)可以看出，随着固有频率比v的变化，线性和非线性解析解都存在此规律。

图7 固有频率比的影响

由于VIDA隔振系统存在阻尼，因此在幅频响应图中不存在反共振峰。如图8(a)和(b)所示，横轴与纵轴同样为无量纲，随着隔振器阻尼比ξ1的增大，响应幅值a1的两个共振峰值明显降低；且在图8(b)中第二个峰下降比第一个共振峰，下降更为明显。不同的是，在图8(a)中，非线性也明显减弱。

图8 隔振器阻尼比的影响

如图9(a)所示，当仅改变吸振器的阻尼比ξ2时，低频共振处的响应幅值a1增大，而高频共振处的响应幅值a1随着阻尼比ξ2的增大而减小。同时，只有共振峰频率段的幅值a1发生变化，而其他频率段的幅值a1几乎重合。这是非线性和线性解析解明显的不同之处。如图9(b)所示，随着阻尼比ξ2的增大，两个共振峰的响应振幅a1减小，而两个共振峰之间的响应振幅a1增大。

图9 减振器阻尼比的影响

如图10所示，VIDA系统存在两个非线性共振峰。当激励幅值f0增大时，系统的非线性度增大，响应幅值a1相应增大，这是非线性系统特有的，也是线性减振系统最为明显的区别。

图10 激励幅值的影响

5 对比与验证

由于VIDA系统是非线性的，隔振系统具有阻尼，因此不能用固定值理论得到系统的最优参数。利用迭代算法和图7～10中参数对幅频响应的影响，得到最优参数为m1=1 kg，m2=0.1 kg，δ=0.1 m，l=0.2 m，k1=1 000 N/m，kh=800 N/m，f0=0.07，fμ=0，v=0.66，ξ1=0.1，ξ2=0.2。在此条件下，将VIDA系统与准零刚度隔振器进行了比较，并将非线性解析解与线性解析解进行了比较。

通过式(23)可得到非线性条件下接地吸振器与准零刚度隔振器幅频响应曲线对比图，如图11(a)所示。VIDA系统的响应幅值峰值为a1=0.62，准零刚度隔振器的响应幅值峰值为a1=0.85，与没有减振器的隔振器相比，响应幅值降低了27%。图11(b)为最优参数下非线性幅值频率响应曲线与线性幅值频率响应曲线的比较，其中线性幅值频率曲线由式(26)得到。线性响应的峰值为a1=0.25，比非线性峰值低60%。因此，在非线性二自由度模型的动力分析中，非线性项是不可忽略的。

图11 最优参数下的比较图

如图12(a)所示，低频共振峰的频率比为在Ω=0.5处，如图12(b)所示，高频共振峰处的频率比为在Ω=1.1处。数值解与解析解在两个共振峰处的拟合度很高，证明了解析解分析结果的正确性。

图12 数值解验证

6 总 结

在对非线性准零刚度VIDA系统进行静力学和动力学分析的基础上，提出了一种新的VIDA系统，实现低频隔振也避免强共振，并对系统参数进行了优化，并用数值验证了解析解的正确性。

(1) 通过对非线性准零刚度隔振器静力学分析，发现系统实现准零刚度与库仑摩擦、预紧力和刚度比有关。只有当这三个系统参数满足方程式(4)时，系统才能获得准零刚度。

(2) 所提出的VIDA系统能够有效地解决强共振问题，实现低频隔振。在优化参数下，隔振器的响应幅值峰值比准零刚度隔振器降低了27%。

(3) 将VIDA系统的非线性解析解与线性解析解进行了比较。系统参数对两个解的影响基本相同，但非线性项不可忽略，否则误差可达60%。