黄 春

（四川职业技术学院教师教育系，四川遂宁629000）

分数阶偏微分方程是整数阶微分方程的推广，它能更准确地描述现实中的物理现象，并能够深刻反映物体内在性质。分数阶偏微分方程在金融学、通信、生物学、流体力学等众多领域有着广泛的应用，因此研究分数阶偏微分方程的性质以及解的情况具有重要的意义。

1 构建分数阶偏微分方程精确解

构建分数阶偏微分方程精确解的方法主要包括：(G′/G)-展开法［1-2］、指数函数法［3-4］、Riccati函数展开法［5-6］、首次积分法［7-10］等。

考虑如下空时分数阶simplified modified Camassa-Holm方程［11-12］：

其中：0＜α＜1,p,q为实参数，是修正的Riemann-Liouville 分数阶导数［13］。修正的Riemann-Liouville分数阶导数由下式定义：

其中 Γ (·) 为Gamma函数，定义为：

修正的Riemann-Liouville分数阶导数具有如下性质：

Camassa-Holm方程是完全可积系统，具有哈密顿结构和无穷多守恒律，是一类非常奇特和重要的孤立波方程，该模型具有广泛的应用背景。整数阶simplified modified Camassa-Holm 方程的精确解可以用指数函数法［14］、(G′/G)-展开法［15］等求解。文献［11-12］分别通过Tanh函数展开法和直接代数方法得到空时分数阶simplified modified Camassa-Holm 方程的一些精确解。本文拟用Riemann-Liouville分数阶导数与首次积分法相结合，求解空时分数阶simplified modified Camassa-Holm方程的新精确解。

2 方法简述

定理2.1(除法定理)［16］假设P(w,z)，Q(w,z)是复数域C(w,z)上的多项式，并且P(w,z)在C(w,z)上是不可约的。如果Q(w,z)包含P(w,z)的全部零点，那么在复数域C(w,z)上存在一个多项式G(w,z)使得

下面是首次积分法求解分数阶偏微分方程的主要步骤.考虑如下分数阶偏微分方程：

步骤1 作复变换

这里k,r为常数。

将（9）式代入方程（8）中，方程（8）转化为只含变量ξ的常微……