曾丽，徐乐群，蔡珊

(1.长沙理工大学 数学与统计学院，湖南 长沙，410000；2.长沙理工大学 湖南省工程数学建模与分析重点实验室，湖南 长沙，410000)

(1)

则称式(1)为Berry-Esseen不等式。

Berry-Esseen不等式通常用来研究中心极限定理的收敛速率，但在统计估计量等方面也发挥着重大作用。英国的Glaton和Watson建立了G-W过程。模型自建立以来，引起了国内外众多学者的研究兴趣。为了让模型更具实际研究意义，研究者对其进行了扩充，如给出了随机环境中分枝过程(branching process in a random environment，BPRE)、泊松随机指数分枝过程等。G-W过程及其推广过程统称为分枝过程。分枝过程是一种特殊的随机过程，其广泛应用于遗传学、生物学等学科。而分枝模型的Berry-Esseen界是研究分枝模型的大偏差的渐进性质的重要工具。总结分枝模型Berry-Esseen界的国内外动态，对分枝模型Berry-Esseen界的研究提供了新的方法及思路。

1 分枝过程

HEYDE和BROWN[2]在三阶矩有限的条件下证明了上临界分枝过程的中心极限类似物的Berry-Esseen界。

HEYDE和LESLIE[3]改进了文献[2]中三阶矩有限的条件，得到了二阶矩有限的情况下上临界分枝过程中心极限类似物的Berry-Esseen界。

定理2[3]设1

r是任意固定整数，

2 带迁入的分枝过程

定义2[4]若对于n≥1，有

HEYDE和SENETA[5]把文献[2]的结论推广到了带迁入的上临界分枝过程。设迁入分布的均值有限，10。

HEYDE和LESLIE[3]改进了文献[5]中三阶矩有限的条件，得到了二阶矩有界的条件下中心极限类似物的Berry-Esseen界。

定理4[3]设1

r是任意固定整数，

且Φ(x)是N(0，1)的分布函数。

当n→∞时，记un↑1，且vn↑1 。

3 随机环境中分枝过程

记N={0，1，2，…}，N*={1，2，…}。设(Ω，F，P)和(Θ，B)分别是概率空间和可测空间。ξ=(ξ0，ξ1，ξ2，…)是一列独立同分布(independent and identically distributed，i.i.d.)的随机变量序列，取值于(Θ，B)。BPRE的模型定义如下。

定义3[6]令{Zn，n=0，1，2，…}为(Ω，F，P)中的随机变量序列，{Xn，i，n=0，1，2，…，i=1，2，…}是一族随机变量序列且定义在N上，并满足

则{Zn，n=0，1，2，…}为BPRE。

logZn=Sn+logWn。

WANG等[7]等把HEYDE和BROWN[2]的结论推广到随机环境，得到了环境独立同分布时W∞-Wn正规化的Berry-Esseen界。

令

其中按照约定，当k=∞时，Wn+k=W∞。

A1：对于每个k∈N*∪{∞}，存在1个常数δ∈(0，1]，使得

GRAMA等[6]研究了随机环境中上临界分枝过程的Berry-Esseen界，得到了logZn在退火率P下Berry-Esseen界。

A3：存在1个常数δ∈(0，1]，使得

E(X)2+δ<∞。

A4：存在1个常数p>1，使得

定理6[6]在A3和A4条件下，则有

FAN等[8]把Graman0=0的相应结果推广到n0∈N，得到了在n0∈N时ln(Zn+n0/Zn0)的Berry-Esseen界。

令

定理7[6]若条件A5成立，那么在n∈N0中一致成立：对n≥2，

和

4 泊松随机指数分枝过程

则称这个连续的过程{ZNt，t≥0}为泊松随机指数分枝过程。

GAO[9]通过Stein方法得到了泊松随机指数分枝过程的对数的Berry-Esseen不等式。

对任意t≥0，定义Yt=ZNt，则

A6：p0=0，m∈(1，∞)，σ2=E(Z1-m)2∈(0，∞)。

定理8[9]在条件A6下，有

其中：C是1个正的常数。

5 展望

通过上述Berry-Esseen界的总结，发现几个有待深入研究的问题：

1)把文献[7]中随机环境上临界分枝过程W∞-Wn正规化的中心极限定理的收敛速率的Berry-Esseen界推广到带迁入的情形；

2)把文献[8]中随机环境上临界分枝过程ln(Zn+n0/Zn0)的Berry-Esseen界的结论推广到带迁入中。

若进一步研究分枝模型中Berry-Esseen界，则以下问题有待解决：

1)两性分枝过程Berry-Esseen界的研究；

2)临界多型分枝过程Berry-Esseen界的研究；