刘桃花，尹修草

(湖南科技大学 数学与计算科学学院，湖南 湘潭，411201)

随着经济的快速发展和人类活动的增强，大气污染问题尤其是PM2.5污染问题日益严重，因此，准确预测PM2.5浓度对控制和治理PM2.5以及改善社会民生都具有非常重要的意义。目前，国际上主要通过大气环境定点监测方式获取各城市PM2.5的污染状况，运用多元线性回归统计方法、统计空间插值方法、神经网络方法等对PM2.5的浓度进行预测[1-6]。

XIE等[7]在研究广州市空气中PM2.5的扩散情况时，讨论了一类带Dirichelet边界条件的分数阶对流扩散方程，给出了数值方法及其应用。分数阶对流扩散方程用于模拟物理、生物、经济上的许多问题[8-10]。带分数阶边界条件的这类方程更适合实际问题的应用[11-15]，据此，对带有分数阶边界条件的分数阶对流扩散方程进行了数值研究，建立了隐性差分格式，然后分析了该方法的解的相容性、存在唯一性、稳定性以及收敛性，并探讨了该方法在长株潭地区大气污染中的应用。考虑污染物的分布情况及风速、温度、湿度等因素，建立长株潭地区PM2.5的扩散方程，对污染物的浓度进行预测，从而对该地区PM2.5的浓度进行预测。

考虑如下一类带有分数阶边界条件的分数阶对流扩散方程：

(1)

分数阶初边值条件为

(2)

u(x，0)=q(x)，0≤x≤R

(3)

(4)

其中：Γ(·)为Gamma函数。

1 差分格式的建立

移位的Grünwald-Letnikov分数阶算子定义为

(5)

标准的Grünwald-Letnikov分数阶算子定义为

(6)

(7)

并且Grünwald系数满足如下引理。

引理1[16]假设α为正实数且整数n≥1，有

采用移位的Grünwald-Letnikov分数阶算子对方程中Riemann-Liouville分数阶导……